第四节 基本不等式： a＋bab≤(a，b∈R＋)
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1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大?小?值问题.
知识梳理
一、算术平均数与几何平均数的概念
a＋b
若a>0，b>0，则a，b的算术平均数是，几何平均数是ab.
2二、常用的重要不等式和基本不等式
1．若a∈R，则a2≥0，|a|≥0(当且仅当a＝0时取等号)． 2．若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取等号)． 3．若a，b∈R＋，则a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时取等号)． a2＋b2?a＋b?2
4．若a，b∈R＋，则≥
2?2?(当且仅当a＝b时取等号)． 三、均值不等式(基本不等式)
两个正数的均值不等式：若a，b∈R＋，则a＋b?2
变式： ab≤??2?(a，b∈R＋)． 四、最值定理
设x>0，y>0，由x＋y≥2xy，有：
a＋b
≥ab(当且仅当a＝b时取等号)． 2
(1)若积xy＝P(定值)，则和x＋y最小值为2P. S?2
(2)若和x＋y＝S(定值)，则积xy最大值为??2?. 即积定和最小，和定积最大．
运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”． 五、比较法的两种形式 一是作差，二是作商．
基础自测
1．(2012·深圳松岗中学模拟)若函数f(x)＝x＋n＝( )
A．1＋2 B．1＋3 C．4
D．3
11
?x－2?·＋2＝4，当且仅当x－2＝，x－2x－2
(x>2)在x＝n处有最小值，则
x－21
解析：f(x)＝x－2＋
1
＋2≥2x－2
即x－2＝1，x＝3时，f(x)有最小值．故选D.
答案：D
2．(2013·广州二模)已知0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且logax·logay＝1，那么xy的取值范围为( )
A．(0，a2] 1
C．(0，]
a
B．(0，a]
1D．(02] a
解析：因为0＜a＜1,0＜x≤y＜1，所以logax＞0，logay＞0，
所以logax＋logay＝loga(xy)≥2logax·logay＝2，当且仅当logax＝logay＝1时取等号．所以0＜xy≤a2.故选A.
答案：A
3．(2012·合肥重点中学联考)若直线2ax－by＋2＝0(a，b>0)始终平分圆x2＋y2＋11
2x－4y＋1＝0的周长，则＋的最小值是________．
ab
答案：4
14．当x>2时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
x－21
解析：因为x＋≥a恒成立，
x－2
1
的最小值． x－2
所以a必须小于或等于x＋
因为x>2，所以x－2>0.
11
所以x＋＝(x－2)＋＋2≥4.
x－2x－2
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ ) 文
