高中数学必修2立体几何常考题型：平面

平面

【知识梳理】

1．平面的概念

几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．

2．平面的画法

(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.

(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.

3．平面的表示法

图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 4．平面的基本性质 公理 内容 如果一条直线上的两点在一公理1 个平面内，那么这条直线在此平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果两个不重合的平面有一公理3 个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图形 符号 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α A，B，C三点不共线?存在唯一的α使A，B，C∈α P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l 【常考题型】 题型一、文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

【例1】 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． (1)点P与直线AB； (2)点C与直线AB； (3)点M与平面AC；

(4)点A1与平面AC； (5)直线AB与直线BC； (6)直线AB与平面AC； (7)平面A1B与平面AC. [解] (1)点P∈直线AB； (2)点C ?直线AB；

(3)点M∈平面AC；(4)点A1?平面AC；

(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB?平面AC； (7)平面A1B∩平面AC＝直线AB. 【类题通法】

三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． 【对点训练】

1．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.

解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图(1)；

(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图(2)； (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图(3)．

题型二、点、线共面问题

【例2】 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． [解] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．

证法1：(纳入平面法)

∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2?α，∴B∈α. 同理可证C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α. ∴直线l1、l2、l3在同一平面内． 证法2：(辅助平面法)

∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2?α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.

同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.

∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内． 【类题通法】

证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有

(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”； (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；

(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”． 【对点训练】

2．下列说法正确的是( )

①任意三点确定一个平面 ②圆上的三点确定一个平面 ③任意四点确定一个平面 ④两条平行线确定一个平面

A．①② C．②④

B．②③ D．③④

解析：选C 不在同一条直线上的三点确定一个平面．圆上三个点不会在同一条直线上，故可确定一个平面，∴①不正确，②正确．当四点在一条直线上时不能确定一个平面，③不正确．根据平行线的定义知，两条平行直线可确定一个平面，故④正确.

题型三、共线问题

【例3】 已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．

求证：P，Q，R三点共线．

[证明] 法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α. 又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.

∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．

∴P，Q，R三点共线． 法二：∵AP∩AR＝A，

∴直线AP与直线AR确定平面APR.

又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α， ∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线． 【类题通法】

点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．

【对点训练】

3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1

交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．

证明：如下图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.

∴BD1?平面A1BCD1. 同理BD1?平面ABC1D1.

∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C?平面A1BCD1， ∴Q∈平面A1BCD1.

∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．

【练习反馈】

1．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作( ) A．Q∈b∈β C．Q?b?β

B．Q∈b?β D．Q?b∈β

解析：选B ∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b. 又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b?β，∴Q∈b?β. 2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( ) A．相交 C．相交或重合

B．重合 D．以上都不对

解析：选C 若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．

3．下列对平面的描述语句： ①平静的太平洋面就是一个平面；

②8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚； ③四边形确定一个平面；

④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集． 其中正确的是________． 解析： 序号 ① ② ③ ④ 答案：④

4．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________. 解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C. 答案：C

5．将下列符号语言转化为图形语言． (1)a?α，b∩α＝A，A?a.

(2)α∩β＝c，a?α，b?β，a∥c，b∩c＝P.

正误 × × × √ 原因分析 太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展的 平面是无大小、无厚薄之分的 如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面 平面是空间中点的集合，是无限集 解：(1)

(2)