高中数学课本 复数的极式与几何意义
????2cos?isink0 z ＝时，0＝??，
1212??7?7???2cos?isin k＝1 时，z1＝??，
1212??13?13??2cos?isink2 z ＝时，2＝?1212?19?19??2cos?isin k＝3 时，z3＝?1212???， ???。 ?
图 59
n
注意到在解方程式 z＝a 时，只要第一个根 z0 确定了，则以原点为中心、z0 为顶点的
正 n 边形顶点 z0，z1，z2，…，zn－1 都是根。而由上面的推导可知 z0 的绝对值是 a 绝对值
1的正 n 次方根，z0 的主辐角为 a 主辐角的倍。
n
随堂练习 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 试求－8 的三次方根。
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最后，我们来看一个综合复数与几何的例子。
例题12 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
23
令 z＝－1＋i，则 z，z，z 三点在复数平面上所形成三角形的
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(1) 重心所代表的复数为何？ (2) 面积是多少？
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 解 (1) z＝－1＋i，
23
可计算 z，z 为
z2＝（－1＋i）2＝－2i，
z3＝z2?z＝（－2i）（－1＋i）＝2＋2i。
23
故 z，z，z 三点在复数平面上所形成的三角形的重心为
(?1?i)?(?2i)?(2?2i)z?z2?z3＝
3311＝＋i。 33(2) z，z2，z3 在复数平面上所形成的三角形如图 60，
图 60
随堂练习 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
23
承例题 12，试求 z，z，z 三点在复数平面上所形成的三角形的周长。
所求的面积可由图中的长方形减去 3 个三角形而得，
11?1?3－??4?2??1?3??1?3?＝5。 即 4×
22?2?
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习题2-3
一﹑基本题
1. 将下列复数写成极式：
2. 试求下列各值：
(1)（－1＋i）10。
?3?i?(2)??1?i??。 ??6(1)－2－23i。 (3) 5566。
(2) 2i。
(4)（6－2）＋（6＋2）i。
(3)（1＋3i）－10＋（1－3i）－10。
3. 仿照例题 9 的方法，试求 1 的八次方根，并将这 8 个根描绘在复数平面上。
2?2?4. 设 ω＝cos＋i sin，试求下列各值：
33
二﹑进阶题
5. 平面上有一正三角形，两顶点分别为原点 O 和（3，1），试求第三个顶点坐标。
(1) 1＋ω＋ω2＋…＋ω2016。 (2) 1－ω＋ω2－ω3＋ω4－ω5。
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6. 如下图所示，复数平面上，在单位圆周上有一点 z，试在图上标出以下各点的位置：
(1) z2。 (3)－z。 (5)z?z。
(2)z。
(4) z 的三次方根。
7. (1) 试求 8i 的三次方根。
8. 若（3－i）n 是正数，且 n 为正整数，试求 n 的最小值。（提示：先将
极式）
z19. 在复数平面上，O 为原点，点 A（z1），B（z2），且 ＝i，请问△OAB 为何种三角形？
z23 －i 化为
(2) 以第(1)小题的 3 个根为顶点，在复数平面上所成的三角形周长为何？
三﹑挑战题 10. 令 ω＝cos
2?2??isin为 1 的五次方根，试求出下列各式的值： 55(1) （1＋ω）（1＋ω2）（1＋ω3）（1＋ω4）。
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(2)
1111??? 234。1??1??1??1??
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