高中数学课本 复数的极式与几何意义
(3) z?z。
(1)式即三角形两边和大于第三边；(2)式即三角形两边差小于第三边。故此二式又称为三角不等式。同学可试着比较在向量一章中三角不等式的结论。
例题3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 设 z 为复数，试求在复数平面上，满足下列式子的复数所成的图形： (1) |z－1－i|＝2， (2) |z－2＋i|＝|z－3－2i|。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 解 (1) 原式即为|z－（1＋i）|＝2，
即复数 z 与 1＋i 的距离为 2，
因此所求的图形为以 1＋i 为圆心，2 为半径的圆，如图 45。
图 45
(2) 原式即为|z－（2－i）|＝|z－（3＋2i）|，
即复数 z 与 2－i 的距离等于复数 z 与 3＋2i 的距离，
因此所求的图形为 2－i 与 3＋2i 联机段的垂直平分线，如图 46。
高中数学课本 复数的极式与几何意义
图 46
随堂练习 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 设 z 为复数，试求在复数平面上，满足下列式子的复数所成的图形： (1) |z＋2|＝2。
(2)
z?i＝1。（提示：先移项） z?i ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 复数的极式
在第三册中介绍了平面直角坐标与极坐目标关系，如图 47，有 a＝r cos θ，b＝r sin θ。因此，复数平面上的点 z＝a＋bi 可化为
z＝a＋bi＝r cos θ＋（r sin θ）i＝r（cos θ＋i sin θ）
的形式，我们称 z＝r（cos θ＋i sin θ）为 z 的极式，其中 r＝a2＋b2 称为 z 的绝对值 （又称为向径或模），θ 称为 z 的辐角，如图 48。
高中数学课本 复数的极式与几何意义
图 47 图 48
显然 r＝|z|＝a2?b2，而 θ 为始边在实轴，终边转到 OP 射线的广义角。如果取 0 ≤ θ＜2π，则称为主辐角。例如图 49，z＝1＋i 的极式为
????z?2?cos?isin?
44??9?9???2?cos?isin44???? ?，
其中2为絶对值，
?为主辐角。 4
图 49
通常把 z 写为极式时，取 θ 为主辐角。规定复数 0 的极式为 0，其絶对值为 0，辐角为任意实数。
※复数的极式
复数 z＝a＋bi 的极式为
z＝r（cos θ＋i sin θ），
其中 r＝|z|＝a2?b2称为 z 的絶对值，
高中数学课本 复数的极式与几何意义
且 θ 满足 cos θ＝
aa?b22，sin θ＝ba?b22，称为 z 的辐角。
注意到极式的形式是固定的，且只要知道 r 与 θ，即可写出极式。
例题3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 将下列复数化为极式： (1) 1＋3i。
(2)－3i。
(3) 3－2i。
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解 (1) 如图 50，因为|1＋3i|＝12?(3)2＝2，
所以
?13?1?3i?2???22i??
??图 50
?????2?cos?isin?。
33??
(2) 如图 51，因为?3i?02?(?3)2?3， 所以
???3???3i＝3?0???i?
??3??3?3??＝3?cos?isin22???。 ?图 51
(3) 如图 52，由 |3－2i|＝13，故
2??3－i? 3－2i＝13?13??13＝13（cos θ＋i sin θ），
其中 θ 满足 cos θ＝32，sin θ＝－。 1313图 52
高中数学课本 复数的极式与几何意义
随堂练习 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 试求出下列各复数在复数平面上的绝对值﹑主辐角，并化成极式。 (1)－3－i。 (2)－5＋5i。 (3) 7。 (4) 4－5i。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 由极式的定义立即可得，两极式相等时，絶对值相等，辐角为同界角。 即令
z1＝r1（cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（cos θ2＋i sin θ2），
则
z1＝z2 ? r1＝r2，且 θ1＝θ2＋2kπ，k 为整数。
随堂练习 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
????cos?isin若 r＞0，2π＜θ＜4π 且 2（cos θ＋i sin θ）＝r??，试求 r 与 θ。
33?? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
复数乘法的几何意义
令 z1＝r1（cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（cos θ2＋i sin θ2），利用和角公式 可得
z1z2＝r1（cos θ1＋i sin θ1）?r2（cos θ2＋i sin θ2）
＝r1r2（（cos θ1 cos θ2－sin θ1 sin θ2）＋i（sin θ1 cos θ2＋cos θ1 sin θ2）） ＝r1r2（cos（θ1＋θ2）＋i sin（θ1＋θ2））
数学课本 - 复数的极式与几何意义
