高中数学课本 复数的极式与几何意义
复数的极式与几何意义
本节介绍复数平面，将一个复数视为平面上的一点，使我们能“看到”复数。接着藉由极坐目标概念介绍复数的极式，并说明极式如何应用在复数的乘除运算。最后介绍如何将一个复数开 n 次方根。
1 复数平面
在第一册中知道，数在线的每一点都代表一个实数，且每一个实数也可以在数在线标出位置。但复数 3＋2i 有虚部，无法标在数在线。若将 3＋2i 的实部和虚部看成数对（3，2），则可以用平面坐标上的点（3，2）来表示 3＋2i，如图 36，37。
图 36 图 37
一般而言，复数 z＝a＋bi（a，b 为实数）可对应到坐标平面上的点（a，b）；反之，坐标平面上的点（a，b）可和复数 z＝a＋bi 对应。按此方式，我们可以把每个复数都看成平面上的一个点；这个用来表示所有复数的坐标平面，称为复数平面或高斯平面。 注意在复数平面上，x 轴上的点代表的复数其虚部为 0，故为实数。而 y 轴上的点 （原点除外）所代表的复数其实部为 0，故为纯虚数。因此，x 轴又称为实轴，y 轴又称为虚轴。
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例题1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (1) 如图 38 的复数平面，试写出 A，B，C，D 所代表的复数。
图 38
(2) 试在复数平面上描绘出下列各复数：
① z1＝－3＋4i。 ② z2＝－5－2i。 ③ z3＝－2i。 ④ z4＝7。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 解 (1) A 的坐标为（2，5），故 A 点代表复数 2＋5i。
同理，B 点代表复数 2i， C 点代表复数－4， D 点代表复数 3－4i。
(2) z1＝－3＋4i 描在复数平面上的坐标为（－3，4）。
同理，z2，z3，z4 描绘在复数平面上的坐标分别为 （－5，－2），（0，－2），（7，0），如图 39。
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图 39
随堂练习 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ (1) 如图 40 的复数平面，试写出 A，B，C，D 所代表的复数。
图 40
(2) 试在复数平面上描绘出下列各复数：
① z＝1－i。
13 i。 ②z2＝＋
22③ z3＝2i。 ④ z4＝－1。
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复数加减法与系数积的几何意义
复数平面使我们能看到复数，因此复数的运算有如下的几何意义。
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(1) 加法：z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则 z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i。
在复数平面上，z1，z2，z1＋z2 与原点的相对位置形成平行四边形，如图 41。
(2) 减法：z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则 z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i。
在复数平面上，z1，z2，z1－z2 与原点的相对位置形成平行四边形，如图 42。
图 41 图 42
(3) 系数积：z＝a＋bi，则 rz＝ra＋rbi。
在复数平面上，z，rz 的相对位置，如图 43。
(4) 共轭复数：z＝a＋bi，则z＝a－bi。
在复数平面上，z的位置为将 z 对实轴作镜射而得，如图 44。
图 43 图 44
复数的绝对值
高中数学课本 复数的极式与几何意义
对于复数 z＝a＋bi，其在复数平面上与原点的距离为 记作|z|。
※复数的绝对值
复数 z＝a＋bi 的绝对值为
|z|＝a2?b2，
即标在复数平面上时与原点的距离。
a2?b2，称为 z 的绝对值，
例题2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 若 z＝3＋5i，试求|z|和z。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 解 |z|＝32?52?34， 而z＝3－5i，
22 故z?3?(?5)?34。
随堂练习 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 若 z1＝1＋2i，z2＝3＋4i，试求|z1|，|z2|，|z1＋z2|及|z1|＋|z2|，并比较 |z1|＋|z2|和|z1＋z2|何者较大？
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由绝对值的定义及复数的几何意义马上可以得到以下结论，其中 z，z1，z2 皆为复数。 (1) |z1＋z2| ≤ |z1|＋|z2|。 (2) ||z1|－|z2|| ≤ |z1－z2|。
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