三角函数的图象与性质
※※※ 知识点归纳
一、三角函数的图象与性质
1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 性 数 质 函 y?sinx y?cosx y?tanx 图象 定义域 R R ????xx?k??,k??? 2??值域 当x时，最值 当x时，周期性 奇偶性 ??1,1? ?2k????1,1? 当x?2k?R ?k????2?k???时， 既无最大值也无最小值 ymax?1； ?2k??ymax?1；当x?2k??? ?2?k????k???时，ymin??1． ? 奇函数 ymin??1． 2? 2? 奇函数 偶函数 在???? 2k??,2k????22??在?k???上是增函数； 单调性 在?2k???,2k???k???上是增函数； 在在?k?????2,k????? 2??3??? 2k??,2k????22???2k?,2k?????k???上?k???上是增函数． 是减函数． ?k???上是减函数． 对称中心对称性 对称轴x?k?,0??k??? ?k??对称中 ?2?k??? ???k??,0??k??? ?2??对称中心?无对称轴 ?k??,0??k??? 2??对称轴x?k??k??? 2、正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
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yy=sinx 1o-4?-3? ?-6?-5?-?-2?2?-1
y y=cosx1
?-?-5?-3?-4?2?-6?-2?-1
3、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
?3?,1) (?,0) (,-1) (2?,0) 22余弦函数y=cosx x?[0,2?]的五个关键点是：
3?4?5?6?x3?4?5?6?x(0,0) (
?3?,0) (?,-1) (,0) (2?,1) 22只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度要求不太高时，常采用五点法作正弦函
数和余弦函数的简图，要求熟练掌握。 优点是方便，缺点是精确度不高。
(0,1) (
二、函数y?Asin(?x??)的图象
1、由函数y?sinx的图象通过变换得到y?Asin(?x??)的图象。有两种主要途径：
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。 法一：先平移后伸缩
(??0)或向右(??0)y?sinx?向左????????y?sin(x??)
纵坐标不变平移|?|个单位
???y?sin(?x??)???????1横坐标变为原来的倍
横坐标不变
法二：先伸缩后平移
A倍?纵坐标变为原来的????????y?Asin(?x??)1横坐标变为原来的倍纵坐标不变
???y?sinx???????
(??0)或向右(??0)y?sin?x?向左????????y?sin(?x??)
横坐标不变平移|?|个单位?
A倍?纵坐标变为原来的????????y?Asin(?x??) 注意：第一种方法平移|?|个单位，第二种方法平移|?|个单位。原因在于相位变换和周期变换都
是针对变量x而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则必然会出现错误。
2、函数y函数y??Asin(?x??)x??0,???其中(A?0,??0)的物理意义：
?Asin(?x??)x??0,???其中(A?0,??0)表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.
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T：T?2??往复振动一次所需的时间，称为“周期” .
f：f?1??单位时间内往返振动的次数，称为“频率” . T2??x??:：称为“相位” .?：x =0时的相位，称为“初相”. ※※※ 例题选讲
例1、函数y?tanx?3的定义域。
解：由tanx?3?0 得 tanx?3，所求定义域为?k?????3,k??????k?Z?， 2?例2、求函数y?2sin?2x??????4?的单调递减区间． 4??3??2k?,(k?Z) 2 解：由
解得
?28?2k??2x??k??x??5??k?,(k?Z)； 8 函数的递减区间为?5?????k?,?k??,(k?Z)；
8?8?例3、用两种方法将函数y?sinx的图象变换为函数y?sin(2x? 分析1：x?x???2x??
?的图象。
)333 解法1：
y?sinx向左平移个单位 3????????y?sin(x??3)12? ????????纵坐标不变横坐标缩短到原来的y?sin(2x??3)
分析2：x?2x?2(x??6)?2x?1?
3?向左平移个单位 解法2：y?sinx?横坐标缩短到原来的 2? 6???????y?sin2x???????纵坐标不变 y?sin[2(x??)]?sin(2x??)
注意：在解法1中，先平移，后伸缩；在解法2中，，先伸缩，后平移。表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的（即
63?和?）
，但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是一致的。
63※※※ 巩固练习
5，则cosA等于（ ）D 12125512 A、 B、 C、? D、?
131313131、已知ΔABC中，tanA??2、化简sin(??2)?cos(?2?2)的结果等于（ ）A
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33 A、0 B、-1 C、
2 D、?2 3、下列等式中，恒成立的是（ ）C A、sin(?2?x)?cos(?2?x) B、sin(??x)??sinx
C、sin(2??x)?sinx D、cos(??x)?cosx 4、函数f(x)?3sin(x2??4),(x?R)的最小正周期为（ ）D
A、
?2 B、? C、2? D、4? 5、函数y?sin(3x??4)是图象的一个对称中心是（ ）B
A．???????12,0??? B．????7?12,0??? C．??7??12,0???11?． D.??12,0??． 6、在下列各区间中，函数y =sin（x＋
?4）的单调递增区间是（ ）B
A.［?2，π］ B.［0，
?4］ C.［－π，0］ D.［
?4，?2］
7、当函数y?2cosx?1取得最大值时，x的取值为（ ）C A、x?2k???2,k?Z B、x?2k???2,k?Z
C、x?2k?,k?Z D、x?2k???,k?Z
8、函数y?3sin(2x??3)的图象可看作是函数y?3sin2x的图象，经过如下平移得到的，其中是（ ）.D A、向右平移?3个单位 B、向左平移?3个单位 C、向右平移
?6个单位 D、向左平移?6个单位 9、已知sinαcosα = 1
8
,则cosα－sinα的值等于 （ ）B
A、±3
4 B、±32 C、332 D、－2
10、sin
4?3·cos25?6·tan5?4的值是（ ）A
A、－34 B、34 C、－34
D、
34 11、函数f(x)?sin(2x??6)的单调递减区间是 。4 / 16
正确的
5?????k?,?k?,(k?Z) ??6?3?12、若f(x)?2sin?(x??)（其中??0,??2 ，?? ?2）的最小正周期是?，且f(0)?1，则??
? 。 6013、将cos100,sin110,sni16814、函数y?2sin(2x?
从小到大排列为 。 sin110?sin1680?cos100
?3)的图象的对称轴方程是 14、x?k???212k?Z；
15、记f(x)?asin(?x??)?bcos(?x??)?4，（a、b、?、?均为非零实数），
)?2009，则f(2010)= 15、?2001； 若f(2009三.解答题 16、已知tan??33,?????,求sin??cos?的值.
23?31)且tan??3?sin???,cos???222
311?3?sin??cos?????222???(?,17、⑴化简sin(x?180)cos(?x)sin(?x?180)tan(?x?180)； 解：原式=(?sinx)cosxsinx(?tanx) =(?sinx)cosxsinx(?⑵证明：tanx?sinx?tanxsinx．
22证：左边=tanx?sinx?tanx?tanxcosx =tanx(1?cosx) =tanxsinx=右边．
22222222222000sinx) =sin3x． cosx故原命题成立。
18、已知函数f(x)?3sin(2x? （2）求 f(x)在区间??4), 求：（1）f(x)的最小正周期；?
?32???3??,3? ,? 的值域。???64??2?19、如右图所示函数图象，求f(x)?Asin(?x??)（??0,???）的表达式。 解析：由图象可知A=2，
T?即2?7???(?)??,88??，???2.8,0)为五点作图的第一个点，
y 1 ?o 8 2?又(??3?87?8??45 / 16
x因此2?（??8）???0，????4.).?2因此所求函数的表达式为y?2sin(2x?
2014高一数学必修4三角函数性质练习(知识点及答案)练习题
