一、选择题
1.我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若?取3，估算小城堡的体积为（ ）
A．1998立方尺 B．2012立方尺 C．2112立方尺 D．2324立方尺 【答案】C
【解析】设圆柱体的底面半径为R，则由题意，得2?3R?48，得R?8，所以小城堡的体积V?S底h?3?8?11?2112（立方尺），故选C．
2.[2024年全国大联考3(课标Ⅱ卷)】如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，记该几何体的各棱长度构成的集合为A，则（ ） A．3?A B．3?A C．22?A D．23?A
2
【答案】C
【解析】由三视图知该几何体的直观图为图中所示的三棱锥A-BCD，
AB=AC=BC=22，AD=DC=5，BD=1，故选C．
ABDC
3.[2024全国大联考4(山东卷)】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的外接球的体积是（ ）
A．
55?4?8? B． C． D．5?
633【答案】C.
4.【2024全国大联考2(山东卷)】如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）
A.
2?2??4? C.?4 ?4 B.
3334D.??
3【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱（所在圆柱OO1）与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD为圆柱的轴截面，顶点P在半圆柱所在圆柱的底面圆上（如图所示），且P在AB上的射影为底面的圆心O.
由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径r?1，高h?2，
故其体积V1?121?rh???12?2??； 22四棱锥的底面ABCD为边长为2的正方形，PO?底面ABCD，且PO?r?1.
114S正方形ABCD?PO??22?1?. 3334故该几何体的体积V?V1?V2???.
3故其体积V2?5.【2024押题卷1（课标1卷）】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．16??16321632 B．16?? C．8?? D．8?? 3333
【答案】D
??x?a???sinx?1?2cos2?dx02?，如图，若三棱锥?6.【2024全国大联考3（课标I卷）】已知
P?ABC的最长的棱PA?a，且PB?BA，PC?AC，则此三棱锥的外接球的体积为
（ ） A.
16?4? B. 33C. ? D.
? 3
【答案】B
【解析】
????x?a???sinx?1?2cos2?dx???sinx?cosx?dx?(?cosx?sinx)?2，由于
0002??PB?BA，PC?AC，则三棱锥的外接球的直径为PA?a?2，因此外接球的体积
是
4?34?. ?1=337.【2024全国大联考4（课标Ⅰ卷）】在三棱锥A?BCD中，△ABC与△BCD都是边长为
6的正三角形，
平面ABC⊥平面BCD，则该三棱锥的外接球的体积为
（ ）
A.515π B.60π C.6015π D.2015π 【答案】D
8.【2024押题卷1（课标1卷）】四棱锥P?ABCD的底面ABCD为正方形，PA?底面
ABCD，AB?2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为
A．3 B．【答案】B
243?同一球面上，则PA?（ ） 1679 C．23 D． 22【解析】连结AC,BD交于点E，取PC的中点O，连结OE，则OEPPA，所以OE?底面ABCD，则O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O球心，均为
11141243?，PC?PA2?AC2?PA2?8，所以由球的体积可得?(PA2?8)3?2223216解得PA?7，故选B． 2
9.【2024全国大联考1（课标I卷）】直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是正三角形，三棱柱的高为3，若P是?A1B1C1中心，且三棱柱的体积为小是（ ） A.
9，则PA与平面ABC所成的角大4?6 B.
?4 C.
?3 D.
2? 3【答案】C
【解析】由题意可设底面三角形的边长为a，过点P作平面ABC的垂线，垂足为O，则点O为底面ABC 的中心，故?PAO即为PAC1PA1B1233与平面ABC所成的角，由于OA??a?a，而
3239OP?3，又因为三棱柱的体积为，由棱柱体积公式得
4COABV?3?4??3a?3?29 ，解得a?3，所以4tan?PAO?PO?AO?3?3，得，故PA与平面ABC所成的角大小是，故正确
33a3答案为C.
10.【2024押题卷1（课标2卷）】在正方体ABCD-ABCD中，M是线段AC的中点，
111111若四面体M-ABD的外接球体积为36p，则正方体棱长为（ ）
2024届二轮(理科数学) 立体几何(解析版) 专题卷(全国通用)
