y1P?Acos[2?(?Acos(?t?y2P?Acos[2?(t5???)?]T?219?3?)?Acos(?t?)22
t4??)]?Acos(?t?8?)?Acos?t T?t5????y3P?2Acos[2?(?)?]?2Acos(?t?10??)?2Acos(?t?)
T?222先将第一列波在P点引起振动的旋转矢量A1与第三列波在P点引起振动的旋转矢量A3合成，合旋转矢量为A13, 如图16-16(b). 合振动方程为
3? y13?Acos(?t?)
2再将A13与A2合成, 合旋转矢量为A合, 如图16-16（c）.合振动方程为
y合?2Acos(?t?)
4A1 ? O ?? x O x 4A13 A13 A合 ? P ? A3 S1 S2 S3 （c） （b） (a) 图16-16 A2 16-17 沿弦线传播的一入射波的波函数为y1?Acos(?t?2?x/?).设波在
x=L处(B点)反射, (1)反射点为自由端, 写出以B为原点的反射波的波函数; (2)反射端为固定端又如何?
分析 考虑在自由端反射的反射波无半波损失，在固定端反射的反射波有半波损失，结合波函数的物理意义, 可写出B点的振动方程．沿入射波的传播方向, 波线上各点相位依次落后，且注意到入射波的波函数是以O为原点．B点的坐标为xB=L，于是以B为原点的反射波传到坐标x点时, 传播距离是L-x. 解 (1)如图16-17, 反射点B为自由端时, 反射波无半波损失，B点坐标xB=L，B点振动方程为 2?L . . x yB?Acos(?t?) O B ?反射波沿BO方向传播, BO间各点的相位均
落后于B点, BO上坐标为x的任一点t时刻相位为
2?L2?(L?x)2?(?t?)???t?(2L?x)
L 图16-17 ???所以B点为自由端时, 以其为原点的反射波波函数为
2L?xy反?Acos(?t?2?)
?(2)当反射点B为固定端时, 反射波有半波损失，以B为原点的反射波波函数为
2L?xy反?Acos(?t?2???)
?16-18 两列波在同一直线上传播, 波速均为1 m/s.它们的波函数分别为
y1?0.05cos?(x?t),y2?0.05cos?(x?t), 式中各量均采用国际单位制. (1)试
说明在直线上形成驻波, 并给出波腹、波节的位置; (2)求在x=1.2m处的振幅.
分析 两列在同一直线上沿正反方向传播的等振幅相干波叠加形成驻波．驻波波函数为y?(2Acos2?x?)cos2??t. 2Acos2?x?为振幅项．结合书上对驻波
的讨论, 可总结出驻波区别于行波的两个特点：在驻波中无能量传播, 无相位传播．
解 两波函数改写为
y1?0.05cos?(t?x)y2?0.05cos?(t?x)
所以这两列波是在同一直线上沿正反方向传播的等振幅的相干波，在直线上叠加形成驻波，(16-24)式给出驻波波函数的形式为
xy?2Acos2?cos2??t
?与已知条件比较，知 A?0.05 m , ??? rad/s, v??T?2m/s 得 T?所以驻波波函数为
y?0.1cos?xcos?t m
当 x 满足cos?x?1时出现波腹, 即
2???2s ，??1?0.5 Hz， ??vT?2m. T?x?k? (k=0,1,2,…..)
解出x=k m出现波腹.
当 x 满足cos?x?0时出现波节, 即
??x?(2k?1) (k=0,1,2,…..)
2解出x?1(2k?1) m出现波节. 2(2)x=1.2m处的振幅为
A?0.1cos?xx?1.2?0.1cos1.2??0.081m .
16-19 如图16-19, 位于x=0 处的波源O作简谐振动, 产生振幅为A, 周期为T,波长为?的平面简谐波. 波沿x轴负向传播, 在波密介质表面B处反射.
若t=0时波源位移为正最大, 且OB=L, 求:(1)入射波的波函数; (2)以B为原点
3?的反射波的波函数; (3)设L=, 证明BO间形成驻波, 并给出因干涉而静止的
4点的位置.
分析 将入射波的波函数写出后与习题16-17 联系应不难求解. 解题时需十分留心的是题目已把坐标取定, B点的坐标xB??L.
解 (1)波源的初相由下式给出 y0?Acos??A (1)
v0?Asin??0 (2)
从(1)式解出 ??0 满足(2)式, 故 ??0
B O x L 图16-19 所以以O为原点, 沿x轴负向传播的入射波波函数为
tx y1?Acos2?(?)
T?(2)B点坐标xB=-L, 且B点为波密介质表面一点, 在B点反射的反射波有半波损失，B点的振动方程为
tLyB振?Acos[2?(?)??]
T?反射波沿x轴正向传播, BO间坐标为-x的任一点t时刻相位为
tLL?xt2L?x2?(??)???2?(?)??
T??T?所以以B为原点的反射波波函数为
t2L?xy2?Acos[2?(?)??]
T?3?(3) 因L?，所以入射波波函数为
4txy1?Acos2?(?)
T?反射波波函数为
3?2()?xttxy2?Acos[2?(?4)??]?Acos2?(?)
T?T?BO间两波叠加, 合成波为
2?x2?y?y1?y2?Acoscost
?T为驻波.
因干涉而静止点的位置满足
x cos2??0
?即x??2k?1? (k=0,1,2,….)，且x?[0,L]，所以BO间因干涉而静止的点为 413?,? 处． 4416-20 站在铁路附近的观察者, 听到迎面开来的火车笛声频率为440Hz,当火车驶过后, 笛声的频率降为390Hz, 设声音速度为340m/s, 求火车的速度.
分析 据已知, 观察者相对于介质静止, 波源(汽笛)先向着观察者运动后又背离观察者，对照(16-29)式不难求解.
解 设?1和?2分别为观察者听到的火车迎面开来和驶过时的频率, ?为汽笛的固有频率. 设声速为V, v为火车速度,火车的汽笛是波源. 据(16-29)式, 火车向着观察者运动v>0, 有
V ?1??
V?v火车背着观察者运动v<0, 有 V ?2??
V?v两式相除得
?1V?v? ?2V?v解出火车速度 v??1??2440?390V??340m/s?20.5m/s
?1??2440?39016-21 水下甲潜艇静止, 乙潜艇以航速v向着甲运动. 为了测定乙潜艇的航速, 甲潜艇上的人员用声纳装置向乙潜艇发出频率为?0的超声波. 若甲潜艇收到的反射波的频率为?, 试确定?与?0、v间的关系（已知超声波在水中传播速度为u）.
分析 超声波是指频率高于2000Hz的机械纵波，具有频率高、波长短、强度大特点，因而有良好的定向传播性能和很强的穿透本领. 由于海水导电性能好，对电磁波有很强的吸收，因而依赖发射、接收电磁波而工作的电磁雷达无法在海水中使用. 利用超声波制成的超声波雷达——声纳应运而生.
解 超声波从甲传到乙时， 甲为波源静止，频率为?0. 乙为接收者，以
v向着甲运动, v<0. 据(16-28)式, 乙接收到的频率为
u?v?0 u超声波从乙传到甲时，甲为接收者，静止. 乙为波源，频率为??，以v向着甲运动, v>0. 由(16-29)式, 甲接收到的反射波频率为
uu?v????0 ??u?vu-v ???
大学物理答案第十六章
