解 从图16-7(a)知
v2????0.5rad/s
T可得t=0时的波形如图16-7(b). 从图知O点将向下运动，于是O点在t=0时有
y0?Acos??0 (1) v0??A?sin??0 (2)
T???2s?4s 0.5由(1)式得????2，由(2)式得sin??0，所以应取
???2
??O点的振动方程为 y?0.5cos(t?)m
22?x?以O为原点的波函数为 y?0.5cos[(t?)?] m
20.52
16-8 一平面简谐波沿x轴负向传播, 波长为?, P处质点元的振动规律如图16-8. (1)求P点的振动方程; (2)设OP=d, 求此波以O为原点的波函数.
分析 振动曲线是描绘波线上某点位移与时间关系的曲线，即y-t图．通过振动曲线可知P点的初始条件．有了P点的初始条件，可得P点的振动方程．由于波沿x轴负向传播，因而O点的相位比P点落后．
解 (1)由振动曲线知P点在t=0时有
y0?Acos???A (1)
v0??A?sin??0
(2)
yp/m A 0 1 2 3 t/s 由(1)式得???，满足(2)式．
因T=4s，则
2??0.5?rad/s T所以P点的振动方程为
?? -A d x y?Acos(t??) m O P 2 (2)波沿x轴负向传播, P点相位比O 图16-8 点超前,所以O点的振动方程为
?d?4dy0?Acos[(t?)??]?Acos[(t?)??]2v2? m
?有 v?以O为原点的波函数为
?T??4
?x?d?4x?4dy?Acos[(t?)??]?Acos[(t?)??]m
2v2?16-9 图16-9 (a)是一平面简谐波在t=0时的波形曲线. P点位于波线上x=1m处, 图(b)是P处质点元的振动曲线. 求以O为原点的波函数. y/m y/m 0.2 P O 1 2 x/m O 0.1 0.2 t/s -0.2 (a) (b) 分析 题目已给出t=0时的波形曲线，似乎问题很简单，但由于没给出波的传播方向，这样从波形曲线无法判定t=0时O点的运动方向．从题目给出的距O点为1 m处P点的振动曲线可以判明，当t稍微大于零时其位移为正，因而t=0时P点将向上运动．再观察波形图上x=1.5m处的质点，当t=0时位于最大位移处，此后一定要向下运动回到平衡位置．既然t=0时P点将向上最大位移处运动， 而1.5m处质点已从最大位移返回，便可判断出P点(1m处)的相位比1.5m处质点落后，所以波沿x轴负向传播．
解 从图16-9(a)知 ??2m, T=0.2s, A=0.2m.
2?????10? rad/s v??10 m/s
TT从图16-9 (b)P点的振动曲线并结合波形曲线(a), 判断出波沿x轴负向传播, 因而t=0时O点向下运动，O点初相由下两式决定：
y0?A?cos??0 (1) v0??A?sin??0 (2)
由(1)式得????2，由(2)式得sin??0，所以应取
???2
x?)?] m 10216-10 两相干波源S1、S2具有相同的振幅、频率和初相位．已知振幅A=0.01m, 频率为100Hz, 初相位为零. 两波源相距30m, 相向发出二简谐波, 波长为5m. 试求: (1)两波源的振动方程; (2)在两波源 连线中点处的合振动方程. 分析 相干波在相遇点的合振幅是各列 S1 S2 30m 波在相遇点引起的振动的合成．
xP 解 (1) 已知 得波函数为 y?0.2cos[10?(t?o P x 图16-10 ?1??2?2???200? rad/s
所以S1、S2的振动方程为
y01?y02?Acos(?t??)?0.01cos200?t
(2) 如图16-10, 取S1为坐标原点, 向右为正. 第一列波到达波源连线中点P的振动方程为
x15y1?Acos[2?(?t?P)]?0.01cos[2?(100t?)]?0.01cos2?(100t?3)
?5第二列波到达P点的振动方程为
y2?Acos[2?(?t?x2?xP?)]
15)]?0.01cos2?(100t?3) 5所以P点的合振动方程式为
?0.01cos[2?(100t?y?y1?y2?0.02cos2?(100t?3) m
16-11 一简谐空气波, 沿直径为0.14m的圆柱形管传播, 波的平均强度为
9?10?3W/m, 频率为300Hz, 波速为300m/s. 求: (1)波的平均能量密度和最大
2
能量密度; (2)每两个相邻同相面间的波中含有的能量.
分析 本题涉及的概念有: 能量密度、平均能量密度、平均能流、能流密度
x或波的强度. 从能量密度w???2A2sin2?(t?)看到, 介质单位体积中的能
v量不守恒, 随时间作周期变化, 在给定时刻能量又随单位体积平衡位置坐标x作周期变化，因此波的传播既是振动相位的传播又是能量的传播，因此而称为行波．
1解 (1)平均能量密度为 w???2A2
21平均强度为 I???2A2v
2I9?10?3w??J/m3?3?10?5J/m3
v300x能量密度为 w???2A2sin2?(t?)
v最大能量密度为 wmax???2A2?2w?2?3?10?5J/m3?6?10?5J/m3 (2)相邻同相面间隔的距离为一个波长，即
v300?1 m ????300相邻同相面间的波中含有能量
W?wV?w?r2??3?10?5?3.14?(0.07)2J?4.62?10?7J
16-12 一简谐波在弹性介质中传播, 波速v?1.0?103m/s, 振幅A=1.0×10-4m, 频率??1.0?103Hz. 若介质的密度??800kg/m3, 求: (1)该波的能流密度; (2) 若有一平面面积s=4.0×10-4m2, 波速v与该平面法线en的夹角为60?， 求一分钟通过该面积的平均能流.
解 (1)能流密度为
1??2A2v2
1 ??800?(2?3.14?103)2?(1.0?10?4)2?103W/m2?1.58?105W/m22I?(2)一分钟通过垂直于波传播方向的平均能流为
P?Ist?1.58?105?4.0?10?4?cos60??60W?1.89?103W
16-13 若太阳能电池板的接收面积为13cm2, 当正对太阳时, 电池板产生0.45V电压, 并提供0.20A电流. 设太的能流密度为1.0×103W/m2, 求太阳能转变为电能的效率.
分析 1s太阳能电池板产生的电能与1s电池板吸收的太阳能之比就是能量转换效率．本题提供的太阳的能流密度是一常识性数据．
解 1 s太阳能电池吸收的太阳能为
W?Is?1.0?103?13?10?4J?1.3J
产生的电能为 E = 0.2×0.45 J = 0.09 J 所以转换效率为
E0.09??100%?6.9% W1.316-14 两相干平面波波源A、B相距20m, 作同频率、同方向和等振幅的振
动， 它们所发出的波的频率为100Hz，波速为200m/s，相向传播, 且A处为波峰时, B处为波谷, 求AB连线上因干涉而静止
的各点的位置.
分析 两相干波等振幅，所以相干减弱点 的振幅为零，即因干涉而静止．A处为波峰时B A P B 处恰为波谷, 表明波源A与波源B的相位差为 ?． x x 解 两相干平面波波长为 v200????2m 图16-14 ?100两平面波相向传播，相遇点在两波源之间，设P在A、B间，距离波源A为x，如图16-14，设波源B相位比波源A超前?，有
?B??A???2?(l?x)?x????2?20?2x??19??2?x 2相遇点为干涉静止时需满足条件为
?B??A?(2k?1)? (k?0,?1,?2,?)
得 ?19??2?x?(2k?1)? 所以AB连线上因干涉而静止点的位置为
x = k+10 m (k?0,?1,?2,?,?9)
16-15 如图16-15, 两列波长均为?的相干简谐波, 分别通过图中的O1和O2点, 通过O1点的简谐波在M1M2平面反射后与通过O2点的简谐波在P点相遇. 假定波在M1M2平面反射时有半波损失, O1和O2两点的振动方程分别为y10?Acos?t和y20?Acos(?t??/2), 且O1m+mP=8?, O2P=3?, 求: (1)两列波分别在P点引起的振动的振动方程; (2)P点的合振幅(设介质无吸收). 分析 通过O1的简谐波在M1M2平面的m点 反射，反射时有半波损失，即对于通过O1的简 谐波, M1M2平面是波密介质, 反射时反射波的 M1 m M2 P 相位改变?．介质无吸收，即表明振幅保持不O1 变．
O2 2?2?解 (1) T???2s ??在M1M2面上反射有半波损失, 所以通过O1
点的简谐波在P点的振动方程为
t8?y1P?Acos[2?(?)??]?Acos(?t?15?)?Acos(?t??)
2?通过O2点的简谐波在P点的振动方程为
t3???y2P?Acos[2?(?)?]?Acos(?t?)
2?22(2)由(16-22)式, P点合振动的振幅为
A合?2A2?2A2cos(图16-15 ?2??)?2A
16-16 如图16-16(a), 三列波长均为?的简谐波, 各自通过S1、S2、S3后在P点相遇，求P 点的振动方程. 设三列简谐波在 S1、S2、S3 振动的振动方程分别为
y1?Acos(?t??/2),y2?Acos?,y3?2Acos(?t??/2),
且S2P=4?,S1P=S3P=5?, 并设介质无吸收.
分析 振动的合成采用旋转矢量法最简便．本题可用旋转矢量法先求第一、二个振动的合振动，再与第三个合成. 以此类推可作多个振动的合成．
解 三列简谐波在P点的振动方程分别为
大学物理答案第十六章
