第十六章 机械波
16-1 一波源作简谐振动，周期T?0.01s，振幅A?0.4m，当t?0时，振动位移恰为正方向的最大值．设此方程以v?400m/s的速度沿直线传播，试求(1)此波的波函数；(2)距波源2m和16m处质点的振动方程和初相；(3)距波源15m和16m处质点振动的相位差．
分析 波源的周期和频率就是机械波的周期和频率，对于平面波，在忽略传播过程中的能量损失的情况下，波源的振幅就是波的振幅，如果已知波速或波长以及波源的初相，就能给出波函数．由上一章的讨论可知，当给出振动的初始位置和运动方向时，振动的初相就确定了．
由波函数可以获得波线上任一点的振动方程；以及任一时刻波线上各点的位移，即波形．波线上相位差为2?质点间的距离（也可视为两个相邻的相位相同点间的距离）为一个波长．
解 (1)波源的角频率为
2?2???? rad/s?200? rad/s
T0.01初始时波源振动达正方向的最大值，即??0，波源的振动方程为
y?0.4cos(200?)
已知v?400m/s，波函数为
x) x?0 400(2)由波函数得x?2m处振动方程为
2y?0.4cos200?(t?)?0.4cos(200???)
400该处质点初相为?．
x?16m处振动方程为
16y?0.4cos200?(t?)?0.4cos(200??8?)m
400该处质点初相为8?或0．
y?0.4cos200?(t?(3)两点相位差为 ???2??x16?15??2?? ?400?0.01215m处质点相位超前．
16-2 已知平面波波函数y?0.2cos?(2.5t?x)．式中x、y以米计，t以秒计，试求(1)波长、周期、波速；(2)在x?1m处质点的振动方程；(3)在t?0.4s时，该处质点的位移和速度．这是原点处的质点在哪一时刻的运动状态？再经过0.4s后该运动状态传至何处？
分析 本题强调这样的概念：波的传播过程是振动状态（或相位）的传播过程．在单位时间振动状态（或相位）传播的距离称为波的传播速度，也称为相速度，即本书中的波速v（以区别于反映振幅或能量传播的群速度）．波在介质中传播时，波线上各质点仍在各自的平衡位置附近振动，并不跟随波前进，质点的
振动速度为u?dy． dt解 (1)将波函数y?0.2cos?(2.5t?x)与简谐波的标准形式对比，得
??2.5? rad /s v?2.5 m/s
2?2?T??s?0.8s ?2.5???vT?2.5?0.8m?2m(2)由波函数得x?1m处的振动方程为
x)2.5 ?0.2cos(2.5?t??)my?0.2cos2.5?(t?x?1?0.2cos2.5?(t?1)2.5
(3)由波函数得t?0.04s时x?1m处质点的位移为
1y?0.2cos2.5?(t?)t?0.04?0.2m
2.5该时刻该质点振动速度为
dy1u???0.2?2.5?sin2.5?(t?)t?0.04?0 t?0.04dt2.51是原点处质点在(0.4?)?0时刻的振动状态．
2.5 再经过0.4s该运动状态传播的距离
x?0.4v?0.4?2.5?1m
即传至距该处1m或距原点2m处．
16-3 如图16-3，一平面简谐波在空间传播，已知波线上某点P的振动规律为y?Acos(?t??),根据图中所示的两种情况，分别列出以O为原点的波函数． 分析 本题可以沿两条思路求解：(1)由于波线上各点的相位依次落后, 根据两点间的距离可以判断O点比P点相位超前多少或落后多少, 因已知P点的振动方程，就能写出O点的振动方程，再写出以O为原点的波函数．(2) 从P点的振动方程直接写出以P为原点的波函数，根据波函数的物理意义写出O点的振动方程，再写出O为原点的波函数．下面给出第一种解法．
y y v v l l O P x P O x 图16-3 解 (1)第一种情况，波沿x轴正向传播，O点的相位比P点超前?以O点的振动方程为
y?Acos[?t?(? 以O为原点的波函数为
l??)] vl, 所vxlx?ly?Acos[?(t?)?(???)]?Acos[?(t?)??)]
vvv(2)第二种情况，波沿x轴负向传播，O点在P点右侧，O点的相位比P点l超前?，所以O点的振动方程为
vl y?Acos[?t?(???)]
v以O为原点的波函数为
?xlx?ly?Acos[?(t?)?(???]?Acos[?(t?)??)]
vvv316-4 一平面余弦波在t?T时的波形如图16-4（a）所示(T为周期), 此
4波以v=36m/s的速度沿x轴正向传播, (1)画出t=0时刻的波形图；(2) 求O、P点的振动初相；写出O点的振动方程及以O为原点的波函数.
分析 波形曲线，即y-x图，给出了某一时刻波线上各点的位移．已知波
3速时，从t?T 时的波形可以推出t=0或t=T时的波形，从而可得O点的振动
4方程, 进而求出O为原点的波函数．
y/m 0.2 O P 0.4 x/m -0.2 （a） 图16-4 y/m 0.2 0.4 O P x/m （b） 解 (1) t?33或沿xT时刻的波形沿x轴负向移动?即为t=0时的波形，
441轴正向移动?即得t=T时的波形，如图16-4(b)．
4(2) 由图16-4(a)得 A?0.2m, ??0.4m, 又v?36m/s 对O点有，t=0时，有
y0?Acos??0 （1） v0??A?sin??0 （2） 由(1)式得????2，由(2)式得sin??0，所以应取
??对P点， t=0时，有
?2
yP0?Acos??0.2 (3)
vP0??A?sin??0 (4)
因A=0.2m，由(3)式得??0，满足(4)式．
(3)波的角频率 ??2?v??2??36rad/s?180? rad/s 0.4O点的振动方程为 y?0.2cos(180?t?) m
2以O为原点的波函数为 y?0.2cos[180?(t??x?)?] m 362 16-5 一平面波在t=0时的波形曲线如图16-5中曲线(I)所示，波沿x轴正向传播，经过t=0.5s后, 波形变为曲线(II). 已知波的周期T?1s, 试由图中所给条件, 求(1)波函数；(2)A点的振动方程． 分析 从波形曲线(I)可以求出振幅、波长以及O点的初相. 但另一个重要的常数?需结合两条波形曲线考虑. 从图上不难看出, 在0.5s波形在x轴正向移动0.1m，于是可以计算出波速．再根据周期、波长、波速间的关系求出周期，进而求出角频率.
解 由图16-5知, A=0.1m, ??0.4m,
y/m 0.10.1 v???0.2m/s
A (Ⅱ) t0.5 ?0.4 T???2s O 0.2 0.4 x/m v0.2 2?2? (Ⅰ) ????? rad/s
T2 对O点 图16-5 y0?Acos??0
(1)
v0??A?sin??0 (2)
由(1)式得????2，由(2)式得sin??0，所以应取
???2
故O点的振动方程为 y?0.1cos(?t?以O为原点的波函数为 y?0.1cos[?(t??2) m
x??)?]?0.1cos[?(t?5x)?] m 0.222(2)将xA?0.1m代入上式，得A点的振动方程为
y?0.1cos[?(t?5?0.1)??2]?0.1cos?t m
16-6 一平面波的波函数为 y?0.01sin(50?t?200x)，式中x，y以m为单位，
t以s为单位, 试求:（1）波的振幅、频率、波长和波速；（2）何时原点处第一次出现波峰；（3）当t=1s时，最靠近原点的两个波峰位置. 分析 本书约定波函数以余弦函数表示, 因此可先把题目给的波函数化为余弦函数．分列在原点两侧的第一个波峰应是最靠近原点的波峰． 解 (1)波函数化为余弦函数形式为
100? y?0.01cos[2?(25t?x)?] m
?2 A?0.01m, ??25Hz, ?? v??100?3.14?10?2m
?T(2) 将x=0, y=A代入波函数，当第一次出现波峰时，有 2得 t=0.01s
(3) 将t=1s代入波函数得t=1s时的波形方程
y?0.01cos(50??200x?)?0.01sin200x
2欲出现波峰需满足条件：
sin200x??(2k?1) (k?0,1,2.....)
2得最靠近原点的两波峰位置为 2?(25t)??3.14?10?2?25?0.79m/s
??0
??k?0, 200x??2
3?k?-1, 200x?? x2??2.35?10?2m216-7 沿x轴负向传播的平面简谐波在t=2s时的波形如图16-17(a), 波速v=0.5m/s, 求O点的振动方程及此波的波函数.
分析 由已知条件算出T=4s. 欲从t=2s时的波形求出t=0时的波形, 只需将t=2s时的波形曲线沿x轴负向移动半个波长即得. 从t=0时的波形便可求出振动方程的几个常数.
y/m y/m t=0时 0.5 0.5 x1?7.85?10?3m -1 O 1 x/m O 1 x/m (a) 图16-7 (b)
大学物理答案第十六章
