2021年中考数学热点专题复习：构造轴对称图形解题
我们在解(证)几何问题时，常常可利用轴对称性质构造出一个轴对称图形，这样能使解题过程更加简捷.下面举例说明.
例1 如图1，ABC中，?BAC?60?，AB?2AC，D是ABC内一点，满足
AD?3，BD?5，CD?2，求ABC的面积.
分析 把ACD、CDB、ADB分别AC、CB、AB作轴对称变换，把分散的线段，集中在EGF中，以找到求面积的思路.
解 把ACD以AC为对称轴往外翻折得到ACE，把CDB以CB为对称轴往外翻折得到CFB，把ADB以AB为对称轴往外翻折得到AGB.则有
AE?AG?3, ?EAG?2?CAB?120?,
∴EAG是一个边长为3，顶角为120?的等腰三角形，SEAG?33. 4同理，GBF是一个边长为5的等边三角形，S∵?ECF?2?ACB?180?, ∴E、C、F三点共线.
BGF?253. 4∴EGF是一个边长为3，4，5的的直角三角形，S∴S五边形AEFBG?SAEGEGF?6.
?SGEF?SGBF
?6?73.
2S∴SABC?6?73 ?3?73. 2ABC 说明 遇到正方形中分散的线段，构造轴对称图形，集中到同一个图形，利用勾股定理，方程等方面解决问题.
例2 在RtBAC中，?BAC?90?，P是BC的中点，M、N在AB、AC上，
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PN?PM，求证:MN2?BM2?CN2.
分析 要证MN?BM?CN，联想到勾股定理，作MPN以MP为对称轴的
222MPN'，将分散线段MN，MB，CN转移同一个直角三角形来解决. 证明 如图2，延长NP至点N'，使N'P?NP，连结BN'，MN'
∵MPN'与MPN是关于以MP为轴的对称图形，∴MPN'?PMN. ?MN'?MN，PN'?NP.
又∵PB?PC，?BPN'??NPC, ∴BPN'?CPN.
?BN'?CN，?N'BP??C. ?AC//BN'.
由?BAC?90?，得MBN'是直角三角形,
∴MN'?BM?CN'.
222MN2?BM2?CN2.
说明 遇到勾股数的线段，构造轴对称变换，再用三角形全等，把对应线段转化同一个三角形促使问题解决.
例3 如图3所示，ABC中，AB?6，AC?3，?BAC?120?，?BAC的平分线交BC于D，求AD的长.
分析 由于AD平分?BAC，因此我们可以作AD为轴的对称变换.
证明 取AB中点C'，连结CC'，交AD于O点，易知AOC和AOC'关于AD对称，AO?CC'.
3. 2 延长AC至点B'，使AB'?6，连结BB'交AD延长线于E.显然，ABE和AB'E 由于?AOC?30?，AC?3，∴AO?
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关于AE对称，且AE?BB'.
由于OC是ABC的中位线,
311，OC?EB'?BE. 222OCODOD1，???,
BEDEDE231?3OD?，?OD?.
2231于是，AD???2.
22?AO?OE? 说明 遇到特殊角的三角形，构造轴对称图形，利用特殊的30?直角三角形性质或三角形中位线性质，使线段成比例，分段求解线段的长.
例4 已知等边ABC，E在BC的延长线上，CF平分?ACE，点P在射线BC上，点Q为CF上一点，连结AP，PQ.若AP?PQ，?APQ是多少度.
分析 本题关键是构造PCQ关于BE的轴对称图形PCR，则AP?PQ，于是转化为AP?PR，且有?PAR??PRA，从而找到解题的途径. 解如图4，作点Q关于BE的对称点R，交BE于点H，从而可得
QCH?RCH,
?QCH??RCH?60?.
由A，C，R在同一直线上，易证
PCQ?PCR,
从而?QPH??RPH,
PR?PQ，?PQC??PRC.
又由于AP?PQ，从而AP?PR, ∴?PRA??PAR.
∴?BAP??PAC??PQC??QPC. ∴?BAP??QPC.
即?BAP??B??QPC??APQ, ∴?APQ?60?.
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说明 等腰(等边)三角形是轴对称图形，充分利用轴对称性质求解，是解决问题的关键. 例5 如图5，在正方形ABCD中，E在BC上，BE?2，CE?1，P在BD上，求PE与PC的长度和的最小值.
分析 利用BD是正方形的对称轴，连结AP，AP就是PC的对称线段，把所求PE与PC的长度和的最小值转化为求AP?PE的最小值.
解 因为ABCD为正方形，所以A、C是关于BD所在直线对称的对称点，连结AP，AE，由对称性知，AP?PC，则PC?PE的最小值为AP?PE的最小值
而AP?PE，由三角形三边关系，知
AP?PE?AE 即最小值就是AE 在RtABE中，
AE?AB2?BE2?22?32?13. 所以AP?PE的最小值是13. 说明 遇到最短距离问题，一般都要利用轴对称的知识，在将问题转化两点线段最短来解决.
例6 如图6，四边形ABCD的对角线AC与BD，它们相交于点O，AC?BD，OA?OC，OB?OD，试说明线段BC?AD?AB?CD的理由.
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分析 题中BC?AD，AB?CD相对较分散，难以比较.注意到AC?BD，OA?OC，OB?OD，于是可以分别以BD，AC为对称轴，作出对称点D'与C'，连结AD'，BC'，C'D'，这样就可以把有关线段相对集中到ABC中.
解 分别以AC与BD为对称轴，作出对称点D'与C'，连结AD'，BC'，C'D'，则AD?AD'，BC?BC'，CD?C'D'. 在ABE中，BE?AE?AB,
在C'D'E中，C'E?D'E?C'D', 所以BC'?AD'?AB?C'D'. 故BC?AD?AB?CD. 说明 遇到线段不等的问题，通常考虑运用轴对称图形的知识，将分散的线段相对集中，在利用三角形的两边之和大于第三边来解决.
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2021年中考数学热点专题复习：构造轴对称图形解题方法
