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主动成长
夯基达标
1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(
13,-) 24解析：平面内任意两个不共线的向量都可作为所在平面内所有向量的基底. 对于A,e1=0与任何向量共线, C中,2e1=e2,∴e1与e2共线. D中,
1e1=e2,∴e1与e2共线. 4答案：B
2.已知a=(-1,3),b=(x,-1),且a、b共线,则x等于( ) A.3 B.-3 C.解析：因为a、b共线,所以1=3x,∴x=答案：C
3.已知A(-1,-4),B(8,
11 D.- 331. 31),且A、B、C三点共线,则C点的坐标为( ) 219)-(-1,-4)=(9,), 22A.(9,1) B.(-9,1) C.(9,-1) D.(-9,-1) 解析：设C(x,y),AB=(8,
BC=(x,y)-(8,
11)=(x-8,y-), 22AC=(x,y)-(-1,-4)=(x+1,y+4),
∵A、B、C三点共线,
∴AB与BC与AC三个向量共线.
19?9(y?)?(x?8),??22∴?
1?(x?8)(y?4)?(y?)(x?1).?2?经检验x=9,y=1适合. 答案：A 4.设a=(A.
31,tanα),b=(cosα, ),且a、b共线,则锐角α的值为( )
23???? B. C. D. 1264313解析：∵a、b共线,∴×-tanα·cosα=0,
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即sinα=
12.∴α=?6. 答案：B
5.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则mn等于( ) A.
12 B.2 C.-12 D.-2 解析：ma+nb=(2m,3m)+(-n,2n)=(2m-n,3m+2n), a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1), -2m+n=12m+8n. ∴14m=-7n.∴m?n?714??12. 答案：C
6.已知向量a=(3,1),向量b=(sinα-m,cosα),α∈R,且a∥b,则m的最小值为( A.-2 B.-1 C.?2 D.-3
解析：∵a∥b,∴3cosα=sinα-m, 即sinα-3cosα=m,
2sin(α-?3)=m. ∴sin(α-?3)=m2.
∴m2=-1.∴m=-2. 答案：A
7.向量a=(x,1),b=(9,x),若a与b共线且方向相反,则x=______________. 解析：x2=9,∴x=±3.
又∵a与b方向相反,∴x=-3. 答案：-3
8.已知|a|=10,b=(4,-3),且a∥b,则向量a的坐标为______________. 解析：设a=(x,y),
∴??x2?y2?100,x?4y?0. ??3解之,得??x?8,或?x??8,?y??6??y?6.
答案：(8,-6)或(-8,6)
9.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1), (1)求3a+b-2c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m、n;
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(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;
(4)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d. 解：(1)3a+b-2c
=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1) =(9,6)+(-1,2)-(8,2) =(9-1-8,6+2-2) =(0,6).
(2)∵a=mb+nc,
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n). ∴???m?4n?3,
?2m?n?2.55??m?,m?,????99解之,得?∴?
?n?8.?n?8.??99??(3)∵(a+kc)∥(2b-a),
又a+kc=(3+4k,2+k), 2b-a=(-5,2), ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0. ∴k=?16. 13(4)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), 又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,
?4(x?4)?2(y?1)?0,∴? 22(x?4)?(y?1)?1.???55x?4?,x?4?,????55解之,得?或?
?y?1?25?y?1?25.??55??∴d=(4+
525525,1+)或d=(4?,1-). 555510.已知向量a=(cosx,sinx),b=(sin2x,1-cos2x),c=(0,1),x∈(0,π).
(1)向量a、b是否共线?请说明理由. (2)求函数f(x)=|b|-(a+b)·c的最大值. 解：(1)a与b共线. ∵cosx·(1-cos2x)-sinx·sin2x=cosx·2sin2x-sinx·2sinx·cosx=0, ∴a与b共线.
(2)|b|=sin2x?(1?cos2x)
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人教版高中数学高一A版必修4 平面向量共线的坐标表示
