ππ
t=0时,点A(33,-3)代入可得-3=6sin φ,因为|φ|<,所以φ=-,故A正确;
26ππ5ππ
t-?,当t∈[35,55]时,t-∈?π,π?, f(t)=6sin??306?306?3?所以点P到x轴的距离的最大值为6,B正确;
ππ12π?
π,,函数y=f(t)先增后减,C不正确; 当t∈[10,25]时,t-∈?3?306?6
πππ
当t=20时,t-=,P的纵坐标为6,|PA|=27+81=63,D正确.故选C.]
3062
3.(2019·长春模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图像关于直线x=ω对称,则ω的值为________.
ππ
ωx+?, [f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin?4??2
因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图像关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,2π
ωπππππ
所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤,则ω2≤,即ω2=,
424224
所以ω=
π.] 2
π5π11π
ω>0,|φ|<?在它的某一个周期内的单调递减区间是?,?.4.(2019·湖北八校联考)函数f(x)=sin(ωx+φ)?2???1212?π1
将y=f(x)的图像先向左平移个单位长度,再将图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),所得到的图像对
42应的函数记为g(x).
(1)求g(x)的解析式;
π
0,?上的最大值和最小值. (2)求g(x)在区间??4?T11π5ππ2π
[解](1)∵=-=,∴T=π,ω==2,
212122T5ππ2×+φ?=1,|φ|<, 又∵sin??12?2ππ
2x-?, ∴φ=-,f(x)=sin?3??3
π
将函数f(x)的图像向左平移个单位长度得
4πππx+?-?=sin?2x+?, y=sin?2??4?36??
??
ππ1
2x+?的图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得g(x)=sin?4x+?. 再将y=sin?6?6???2π4x+?. ∴g(x)=sin?6??
πππ7π0,?,∴4x+∈?,?, (2)∵x∈??4?6?66?πππ
当4x+=时,x=,
6212
- 6 -
πππππ110,?上为增函数,在?,?上为减函数,所以g(x)max=g??=1,又因为g(0)=,g??=-,所∴g(x)在?????????121241224g(x)min=-12,故函数g(x)在区间??0,π4??上的最大值和最小值分别为1和-1
2
.
函数f(x)=Asin(ωx+φ)??
A>0,ω>0,|φ|<π
2??的部分图像如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式,并写出其图像的对称中心; (2)若方程f(x)+2cos??4x+π
3??=a有实数解,求a的取值范围. [解](1)由图可得A=2,T2πππ
2=3-6=2,
所以T=π,所以ω=2.
当x=π
6时,f(x)=2,可得2sin??2×π6+φ??=2, 因为|φ|<π2,所以φ=π
6
. 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin??2x+π
6??. 令2x+πkπ6=kπ(k∈Z),得x=π
2-12(k∈Z),
所以函数f(x)图像的对称中心为?kπ?2-π
12,0??(k∈Z). (2)设g(x)=f(x)+2cos??4x+π
3??, 则g(x)=2sin??2x+π6??+2cos?π
?4x+3?? =2sin??2x+π6??+2?π
?1-2sin2??2x+6????, 令t=sin??2x+π
6??,t∈[-1,1], 记h(t)=-4t2+2t+2=-4??t-14?2
?+94, 因为t∈[-1,1],所以h(t)∈??-4,94??, 即g(x)∈??-4,94??,故a∈??-4,9
4??. 故a的取值范围为??
-4,9
4??. 2- 7 -
以
2021高考数学一轮复习课后限时集训23函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用
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