课后限时集训23
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用
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一、选择题
ππ
2x－?在区间?－，π?上的简图是( ) 1．函数y＝sin?3???2?
π3
－?＝－，排除B、D. A [令x＝0，得y＝sin??3?2ππ
－?＝0，f??＝0，排除C，故选A.] 由f??3??6?
π?π
2．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图像的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f??6?的值是( ) 2A．－3 C．1
πD [由题意可知该函数的周期为，
2ππ
∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x. ω2π?π∴f?＝tan ＝3.] ?6?3
π
0＜φ＜?个单位长度后，3．(2024·潍坊模拟)函数y＝3sin 2x－cos 2x的图像向右平移φ?得到函数g(x)的图像，2??若函数g(x)为偶函数，则φ的值为( )
π
A. 12πC. 4
πB. 6πD. 3B.3 3
D.3
π
2x－?，其图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝B [由题意知y＝3sin 2x－cos 2x＝2sin?6??πππππkπ
2x－2φ－?的图像，因为g(x)为偶函数，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋，k∈Z，又因为φ∈?0，?，2sin?6???2?6262π所以φ＝.] 6
- 1 -
ππ
ω＞0，－＜φ＜?的部分图像如图所示，则φ的值为( ) 4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?22??
π
A．－
3πC．－
6
πB. 3πD. 6
ππTπ2π
－?＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又B [由题意，得＝－?23?6?2ωπ??2π＋φ?＝0，－π＜φ＜π，所以φ＝π.] 因为f?＝sin?3??3?223
5．(2024·武汉调研)
函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图像如图所示，给出以下结论： ①f(x)的最小正周期为2；
1
②f(x)图像的一条对称轴为直线x＝－；
213
2k－，2k＋?，k∈Z上是减函数； ③f(x)在?44??④f(x)的最大值为A. 则正确结论的个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
?5－1?＝2，?1，0?和?5，0?，B [由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×故①正确；因为函数f(x)的图像过点?44??4??4?
115?kT31
＋＋＝＋k(k∈Z)，所以函数f(x)图像的对称轴为直线x＝?故直线x＝－不是函数f(x)图像的对称轴，故②不2?44?2421T1T13
正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若A＞0，
444444则最大值是A，若A＜0，则最大值是－A，故④不正确．综上知正确结论的个数为2.]
二、填空题
π1
2x＋?的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为f(x)＝________. 6．将函数f(x)＝2sin?6??4
ππ?2x＋π?的图像向右平移1个周期即π个单位长度，2x－? [函数y＝2sin?2x＋?的周期为π，2sin?将函数y＝2sin3?6?6????44πππx－?＋?＝2sin?2x－?.] 所得函数为y＝2sin?2??4?63??
?? - 2 -
ππ
ω＞0，|φ|＜?的部分图像如图所示，则y＝f?x＋?取得最小值时x的集合为7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?2???6?________．
???π?7π－π?＝π，故π＝2π，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，?x x＝kπ－，k∈Z? [根据所给图像，周期T＝4×
3?123?ω???
7π?7π
，0，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)， 另外图像经过点??12?12
πππ
2x－?， 再由|φ|＜，得φ＝－，∴f(x)＝sin?6??26ππ
x＋?＝sin?2x＋?， ∴f?6??6??
ππππ
x＋?取得最小值．] 当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f??6?623
πππππ
ωx＋?(ω＞0)，f??＝f??，且f(x)在区间?，?上有最小值，无最大值，则ω＝________. 8．已知f(x)＝sin?3???6??3??63?ππ＋
63π14
[依题意，x＝＝时，y有最小值， 324ππππ3π
·ω＋?＝－1，∴ω＋＝2kπ＋(k∈Z)． ∴sin?3??4432
ππ?14πππ
，上有最小值，无最大值，所以－≤，即ω≤12，令k＝0，得ω＝∴ω＝8k＋(k∈Z)，因为f(x)在区间??63?334ω14
.] 3
三、解答题
ππ3
ω＞0，－＜φ＜0?的最小正周期为π，且f??＝. 9．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)?2???4?2
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图像． 2π
[解](1)因为T＝＝π，所以ω＝2，
ωπ??2×π＋φ?＝cos?π＋φ? 又因为f?＝cos?4??4??2?
- 3 -
＝－sin φ＝
32且－π2＜φ＜0，所以φ＝－π3
. (2)由(1)知f(x)＝cos??2x－π
3??. 列表：
2x－ππ5π3 －π3 0 2 π 3π2 3 x 0 π 5π2π11π612 3 12 π f(x) 12 1 0 －1 0 12 描点，连线，可得函数f(x)在[0，π]上的图像如图所示．
10.(2024·北京市东城区二模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)??
A＞0，ω＞0，|φ|＜π
2??的部分图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，求m的最大值． [解](1)由图像可知，A＝2.
因为?5?12π－π6??＝T
4(T为最小正周期)，所以T＝π. 由π＝2π
ω
，解得ω＝2.
又函数f(x)的图像经过点?π?6，2??，所以2sin??2×ππ
6＋φ??＝2，解得φ＝6＋2kπ(k∈Z)． 又|φ|＜ππ
2，所以φ＝6.
所以f(x)＝2sin??
2x＋π
6??. (2)法一：因为x∈[0，m]，所以2x＋ππ
6∈??6，2m＋π6??. 当2x＋ππ6∈??6，π2??，即x∈??0，π6??时，f(x)单调递增； 所以此时f(x)≥f(0)＝1，符合题意；
- 4 -
ππππ5π?
，，即x∈?，?时，f(x)单调递减， 当2x＋∈??63?6?26?π?
所以f(x)≥f??3?＝1，符合题意；
π2ππ5π3π?
，时，即x∈?，?时，f(x)单调递减， 当2x＋∈?2??33?6?6π?
所以f(x)＜f??3?＝1，不符合题意．
ππ综上，若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，则必有0＜m≤，所以m的最大值是.
33π
2x＋?的图像，如图所示，由图法二：画出函数f(x)＝2sin?6??
可知，函数f(x)在π
所以0＜m≤.所以m的
3
?－π，π?上单调递增，?π，5π?上单调递减，?π?＝1，在且f(0)＝f?126??612??3?
π最大值为.
3
ππ
ωx＋?(0＜ω＜10)的图像向右平移个单位长度后与函数f(x)的图像重合，则ω＝( ) 1．将函数f(x)＝tan?3??6A．9 B．6 C．4 D．8
ππππ
ωx＋?的图像向右平移个单位长度后所得图像对应的函数解析式为y＝tan?ω?x－6?＋?＝B [函数f(x)＝tan?3??3??6??ωππωπππ
ωx－＋?，∵平移后的图像与函数f(x)的图像重合，∴－＋＝＋kπ，k∈Z， tan?63??633
解得ω＝－6k，k∈Z.又∵0＜ω＜10，∴ω＝6.]
2.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经π
t≥0，ω＞0，|φ|＜?.则下列过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)?2??叙述错误的是( )
ππ
A．R＝6，ω＝，φ＝－
306
B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6 C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)递减 D．当t＝20时，|PA|＝63
2ππ
C [由题意，R＝27＋9＝6，T＝60＝，所以ω＝，
ω30
- 5 -
2024高考数学一轮复习课后限时集训23函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用
