课后限时集训23
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
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一、选择题
ππ
2x-?在区间?-,π?上的简图是( ) 1.函数y=sin?3???2?
π3
-?=-,排除B、D. A [令x=0,得y=sin??3?2ππ
-?=0,f??=0,排除C,故选A.] 由f??3??6?
π?π
2.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y=2所得线段长为,则f??6?的值是( ) 2A.-3 C.1
πD [由题意可知该函数的周期为,
2ππ
∴=,ω=2,f(x)=tan 2x. ω2π?π∴f?=tan =3.] ?6?3
π
0<φ<?个单位长度后,3.(2019·潍坊模拟)函数y=3sin 2x-cos 2x的图像向右平移φ?得到函数g(x)的图像,2??若函数g(x)为偶函数,则φ的值为( )
π
A. 12πC. 4
πB. 6πD. 3B.3 3
D.3
π
2x-?,其图像向右平移φ个单位长度后,得到函数g(x)=B [由题意知y=3sin 2x-cos 2x=2sin?6??πππππkπ
2x-2φ-?的图像,因为g(x)为偶函数,所以2φ+=+kπ,k∈Z,所以φ=+,k∈Z,又因为φ∈?0,?,2sin?6???2?6262π所以φ=.] 6
- 1 -
ππ
ω>0,-<φ<?的部分图像如图所示,则φ的值为( ) 4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)?22??
π
A.-
3πC.-
6
πB. 3πD. 6
ππTπ2π
-?=,所以T=π,由T=,得ω=2,由图可知A=1,所以f(x)=sin(2x+φ).又B [由题意,得=-?23?6?2ωπ??2π+φ?=0,-π<φ<π,所以φ=π.] 因为f?=sin?3??3?223
5.(2019·武汉调研)
函数f(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0)的部分图像如图所示,给出以下结论: ①f(x)的最小正周期为2;
1
②f(x)图像的一条对称轴为直线x=-;
213
2k-,2k+?,k∈Z上是减函数; ③f(x)在?44??④f(x)的最大值为A. 则正确结论的个数为( ) A.1 C.3
B.2 D.4
?5-1?=2,?1,0?和?5,0?,B [由题图可知,函数f(x)的最小正周期T=2×故①正确;因为函数f(x)的图像过点?44??4??4?
115?kT31
++=+k(k∈Z),所以函数f(x)图像的对称轴为直线x=?故直线x=-不是函数f(x)图像的对称轴,故②不2?44?2421T1T13
正确;由图可知,当-+kT≤x≤++kT(k∈Z),即2k-≤x≤2k+(k∈Z)时,f(x)是减函数,故③正确;若A>0,
444444则最大值是A,若A<0,则最大值是-A,故④不正确.综上知正确结论的个数为2.]
二、填空题
π1
2x+?的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为f(x)=________. 6.将函数f(x)=2sin?6??4
ππ?2x+π?的图像向右平移1个周期即π个单位长度,2x-? [函数y=2sin?2x+?的周期为π,2sin?将函数y=2sin3?6?6????44πππx-?+?=2sin?2x-?.] 所得函数为y=2sin?2??4?63??
?? - 2 -
ππ
ω>0,|φ|<?的部分图像如图所示,则y=f?x+?取得最小值时x的集合为7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)?2???6?________.
???π?7π-π?=π,故π=2π,∴ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),?x x=kπ-,k∈Z? [根据所给图像,周期T=4×
3?123?ω???
7π?7π
,0,代入有2×+φ=π+2kπ(k∈Z), 另外图像经过点??12?12
πππ
2x-?, 再由|φ|<,得φ=-,∴f(x)=sin?6??26ππ
x+?=sin?2x+?, ∴f?6??6??
ππππ
x+?取得最小值.] 当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f??6?623
πππππ
ωx+?(ω>0),f??=f??,且f(x)在区间?,?上有最小值,无最大值,则ω=________. 8.已知f(x)=sin?3???6??3??63?ππ+
63π14
[依题意,x==时,y有最小值, 324ππππ3π
·ω+?=-1,∴ω+=2kπ+(k∈Z). ∴sin?3??4432
ππ?14πππ
,上有最小值,无最大值,所以-≤,即ω≤12,令k=0,得ω=∴ω=8k+(k∈Z),因为f(x)在区间??63?334ω14
.] 3
三、解答题
ππ3
ω>0,-<φ<0?的最小正周期为π,且f??=. 9.设函数f(x)=cos(ωx+φ)?2???4?2
(1)求ω和φ的值;
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图像. 2π
[解](1)因为T==π,所以ω=2,
ωπ??2×π+φ?=cos?π+φ? 又因为f?=cos?4??4??2?
- 3 -
=-sin φ=
32且-π2<φ<0,所以φ=-π3
. (2)由(1)知f(x)=cos??2x-π
3??. 列表:
2x-ππ5π3 -π3 0 2 π 3π2 3 x 0 π 5π2π11π612 3 12 π f(x) 12 1 0 -1 0 12 描点,连线,可得函数f(x)在[0,π]上的图像如图所示.
10.(2019·北京市东城区二模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)??
A>0,ω>0,|φ|<π
2??的部分图像如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对于任意的x∈[0,m],f(x)≥1恒成立,求m的最大值. [解](1)由图像可知,A=2.
因为?5?12π-π6??=T
4(T为最小正周期),所以T=π. 由π=2π
ω
,解得ω=2.
又函数f(x)的图像经过点?π?6,2??,所以2sin??2×ππ
6+φ??=2,解得φ=6+2kπ(k∈Z). 又|φ|<ππ
2,所以φ=6.
所以f(x)=2sin??
2x+π
6??. (2)法一:因为x∈[0,m],所以2x+ππ
6∈??6,2m+π6??. 当2x+ππ6∈??6,π2??,即x∈??0,π6??时,f(x)单调递增; 所以此时f(x)≥f(0)=1,符合题意;
- 4 -
ππππ5π?
,,即x∈?,?时,f(x)单调递减, 当2x+∈??63?6?26?π?
所以f(x)≥f??3?=1,符合题意;
π2ππ5π3π?
,时,即x∈?,?时,f(x)单调递减, 当2x+∈?2??33?6?6π?
所以f(x)<f??3?=1,不符合题意.
ππ综上,若对于任意的x∈[0,m],f(x)≥1恒成立,则必有0<m≤,所以m的最大值是.
33π
2x+?的图像,如图所示,由图法二:画出函数f(x)=2sin?6??
可知,函数f(x)在π
所以0<m≤.所以m的
3
?-π,π?上单调递增,?π,5π?上单调递减,?π?=1,在且f(0)=f?126??612??3?
π最大值为.
3
ππ
ωx+?(0<ω<10)的图像向右平移个单位长度后与函数f(x)的图像重合,则ω=( ) 1.将函数f(x)=tan?3??6A.9 B.6 C.4 D.8
ππππ
ωx+?的图像向右平移个单位长度后所得图像对应的函数解析式为y=tan?ω?x-6?+?=B [函数f(x)=tan?3??3??6??ωππωπππ
ωx-+?,∵平移后的图像与函数f(x)的图像重合,∴-+=+kπ,k∈Z, tan?63??633
解得ω=-6k,k∈Z.又∵0<ω<10,∴ω=6.]
2.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(33,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经π
t≥0,ω>0,|φ|<?.则下列过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)?2??叙述错误的是( )
ππ
A.R=6,ω=,φ=-
306
B.当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6 C.当t∈[10,25]时,函数y=f(t)递减 D.当t=20时,|PA|=63
2ππ
C [由题意,R=27+9=6,T=60=,所以ω=,
ω30
- 5 -
2021高考数学一轮复习课后限时集训23函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用
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