1.4.2全称量词与存在量词（二）量词否定
教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.
教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化； 教学难点：隐蔽性否定命题的确定； 课 型：新授课 教学手段：多媒体
教学过程： 一、创设情境
数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ?”与“?”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，p?q,p?q都容易判断，但它们的否定形式是我
来源学§科§网Z§X§X§K]们困惑的症结所在。 二、活动尝试
问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。 （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）?x?R，x2-2x+1≥0 分析：（1）?x?M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；?x?M,?p(x)
（2）?x?M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；?x?M,?p(x) （3）?x?M,p(x)，否定：?x?R，x2-2x+1<0；?x?M,?p(x) 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 三、师生探究?
问题2：写出命题的否定
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（1）p：? x∈R，x＋2x+2≤0； （2）p：有的三角形是等边三角形； （3）p：有些函数没有反函数；
（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分； 分析：（1）? x?R，x2＋2x+2>0；
（2）任何三角形都不是等边三角形； （3）任何函数都有反函数；
（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；
来源学科网从集合的运算观点剖析：痧U(A四、数学理论
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1.全称命题、存在性命题的否定
一般地，全称命题P：? x?M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：?x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：?x?M，使P（x）成立；其否定命题┓P为：? x?M,有P（x）不成立。 用符号语言表示：
P:??M, p(x）否定为? P: ??M, ? P（x） P:??M, p(x）否定为? P: ??M, ? P（x）
在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 2.关键量词的否定 词语 词语的否定 词语 是 一定是 都是 大于 小于 且 不是 一定不是 不都是 至多有一个 小于或等于 大于或等于 所有x不成立 或 必有一个 至少有n个 所有x成立 词语的否一个也没至多有n-1至少有两存在一个x不存在有一个定 有 个 个 成立 成立 五、巩固运用
例1 写出下列全称命题的否定： （1）p：所有人都晨练； （2）p：?x?R，x2＋x+1>0；
（3）p：平行四边形的对边相等；
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（4）p：? x∈R，x－x+1＝0； 分析：（1）? P：有的人不晨练；（2）? x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）?x?R，x2－x+1≠0； 例2 写出下列命题的否定。
（1） 所有自然数的平方是正数。
（2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。 （3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. （4） 有些质数是奇数。 解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。
（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。 （3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。 （4）的否定：所有的质数都不是奇数。
解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。
例3 写出下列命题的否定。 （1） 若x2＞4 则x＞2.。
（2） 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。 （3） 可以被5整除的整数，末位是0。
（4） 被8整除的数能被4整除。
（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解（1）否定：存在实数x0，虽然满足x0＞4，但x0≤2。或者说：存在小于或等于2的数x0，满足x0＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）
（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个x0，使x0+ x0-m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）
（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。
（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。） 例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。 （1）p：若x＞y,则5x＞5y； （2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2； （3）p：正方形的四条边相等；
（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。 解：（1）? P：若 x＞y，则5x≤5y； 假命题 否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题 （2）? P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题 否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。
（3）? P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。
（4）? P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。
否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。 评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：
1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。 3． 原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则?q”；而它的否命题为 “若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。 六、回顾反思
在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。 七、课后练习
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1．命题p：存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）
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A.存在实数m，使得方程x＋mx＋1＝0无实根；
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B.不存在实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；
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C.对任意的实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；
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1.4.2《全称量词与存在量词(二)量词否定》教案(新人教选修2-1,选修1-1)doc
