立体几何中的向量方法 (一) 平行与垂直关系的向量证法 知识点一：求平面的法向量
例1.已知平面α
经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．
解: ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
AB＝(1，－2，－4)，AC＝(1，－2，－4)，
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)． →
依题意，应有n·AB= 0， n·AC = 0.
?x－2y－4z＝0?即???2x－4y－3z＝0
→
?x＝2y?
，解得?
??z＝0
.
令y＝1，则x＝2.
∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．
【反思】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零
向量)即可． “用向量法”求法向量的解题步骤：
（1）设平面的一个法向量为n?(x,y,z)；
（2）找出（或求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a?(a1,b1,c1),b?(a2,b2,c2)；
??n?a?0 （3）根据法向量的定义列出方程组?； ? ?n?b?0 （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
练习：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：AE证明: 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则
设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 1?1???A(1,0,0)，E?1，1，?， ?AE＝?0，1，?. 2?2???
是平面A1D1F的法向量.
AE是平面A1D1F的法向量．
?1??1?→
D1＝(0,0,1)，F?0，，0?，A1(1,0,1)． ?D1F＝?0，，－1?，A1D1＝(－1,0,0)．
?2??2?
1??1→??11
∵AE·D1F＝?0，1，?·?0，，－1?＝－＝0，同理AE·A1D1＝0，
2??2??22→
∴AE?D1F且AE⊥A1D1. 又A1D1∩D1F＝D1， ∴AE⊥平面A1D1F，∴ AE是平面A1D1F的法向量． 知识点二：利用向量方法证平行关系
（1）线线平行：设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，则l1//l2?a//b?a??b （2）线面平行：
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①由线面平行的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可；
②设直线l的方向向量为a，平面?的法向量为?，则l//??a???a???0； ③由共面向量定理知，只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可. （3）面面平行：
①证明两个平面的法向量平行，即两个平面的法向量?//?；
②证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直线的方向向量平行.
例2
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C//面ODC1.
证方法一：∵B1C=A1D，
∴B1C//A1D，又A1D?面ODC1,B1C?面ODC1 ∴B1C//面ODC1
证法二： ∵B1C=B1C1 +B1B=B1O+OC1+D1O+OD
=OC1+OD.
∴
B1C，OC1，OD共面.
ODC1，∴B1C∥面ODC1.
又B1C ?
证法三: 如图建系空间直角坐标系D?xyz，设正方体的棱长为1，则可得
?11?B1(1,1,1)，C(0,1,0)，O?，，1?，C1(0,1,1)， ?22?
B1C＝(－1,0，－1)，
11?OD＝??－2，－2，－1?， ??11?
OC1＝??－2，2，0?.
??
设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0)， 11
－x－y－z＝0 ①??22??n?OD?0,则? 得?11??n?OC?0,－x＋??22y＝0 ②
0
0
0
100
令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)． 又 B1C·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴B1C⊥n，∴B1C∥平面ODC1.
【反思】 证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC1内找一向量与B1C共线；二是
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说明B1C能利用平面ODC1内的两不共线向量线性表示，三是证明B1C与平面的法向量垂直．
练习：如图所示，矩形ABCD和梯形BEFCAD?3，EF?2.求证：AE//平面DCF.
所在平面互相垂直，BE//CF，?BCF??CEF?90?，
证明：如图所示，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标
系C—xyz.
设AB＝a，BE＝b，CF＝c，
则C(0,0,0)，A(3，0，a)，
B(3，0,0)，E(3，b,0)，F(0，c,0)． →
AE＝(0，b，－a)， CB＝(3，0,0)，
BE＝(0，b,0)，
所以
→
CB·AE = 0，CB·BE = 0，从而CB⊥AE，CB⊥BE.
所以CB⊥平面ABE.因为CB⊥平面DCF， 所以平面ABE∥平面DCF.故AE∥平面DCF.
知识点三 利用向量方法证明垂直关系
（1）线线垂直：设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，则l1?l2?a?b?a?b?0 （2）线面垂直：
①设直线l的方向向量为a，平面?的法向量为?，则l???a//??a?k?； ②由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直。 （3）面面垂直：
①证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量????????0；
②由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线的方向向量垂直.
例3．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F分别是棱AB,BC的中点，试在棱BB1上找一点M平面EFB1.
，使得D1M⊥
解：建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D1(0,0,2)，B1(2,2,2)．
设M（2，2，m），则
→
EF =（?1，1，0），B1E=（0， ?1， ?2），
D1M =（2，2，m?2）.
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专题五立体几何中的向量方法_(一)__平行与垂直关系的向量证法
