初中数学竞赛专题选讲
识图
一、 内容提要
1?几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。
2?几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。
面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。
《平
3?几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独 研究点、线、
面、体，要靠正确的想像 点：只表示位置，没有大小，不可再分。 线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线” 面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，
。
“线动成面”。
4?因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的 组合关系是学
好几何的重要基础。
识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中 的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注 意一般图形和特殊图形的差别。 二、 例题
例1?数一数甲图中有几个角 （小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图 中有几全等三角形？ 丁图中有几对等边三角形？
甲A
乙
O
C
B
A
O
解：甲图中有 10 个角：/ AOB, / AOC, / BOC, / BOD, / COD, / COE, / DOE, / DOA, / EOA, / EOB.如果 OA 和 OC 成一直线，则少一个/ AOC , 余类推。
乙图中有5个等腰三角形： △ ABC , △ ABD , △ BDC , △ BDE , △ DEC 丙图中有全等三角形 4对：（设AC和DB相交于O）
△ AOB ◎△ COD , △ AOD ◎△ BOC , △ ABC ◎△ CDA , △ BCD DAB。
丁图中共有等边三角形 48个:
边长1个单位：顶点在上▲的个数有 顶点在
下▼的个数有
边长2个单位：顶点在上▲的个数有 顶点在
下▼的个数有
边长3个单位：顶点在上▲的个数有 边长4个单位：顶点在上▲的个数有 边长5个单位：顶点在上▲的个数有 以上要注意数一数的规律 例2?设平面内有6个点A1, A2, A3,
1+ 2+ 3 + 4 + 5= 15 1+ 2+ 3 + 4 = 10 1+ 2+ 3 + 4 = 10 1+ 2= 3 1+ 2+ 3 = 6 1+ 2= 3 1
A4, A5, A6 ,其中任意3个点都不在同一 直线上，如果每两点都连成一条线， 那么共有线
段几条？如果要使图形不出 现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。
（佃89年全国初中数学联赛题 ）
解：从点A1与其他5点连线有5条，从点A2与其他4点（A1除外）连线 有4条，从A3与其他3点连线有3条（A1, A2除外）……以此类推，6个 点两两连线共有线段 1+ 2+
3 + 4 + 5= 15 （条），或用每点都与其他 5点连 线共5X 6再除以2 （因重复计
算）。
要使图形不出现有 4个点的两两连线，那么每点只能与其他
4个点连线,
共有（6X 4）- 2 = 12 （条）如下图：其中有 3对点不连线：A1A4, A2A5,
A 3A 6
A3
例3?如图水平线与铅垂线相交于 0,某甲沿水平线, 甲、乙再次离点 0相等。求甲和乙的速度比。
解：如图设甲0,乙0为开始位置，甲1,乙1为前进2分钟后位置，甲2,乙2 乙2
前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟
米，根据题意得
为再
某乙铅垂线同时匀速前
进，当甲在0点时，乙离点 0为500米，2分钟后，甲、乙离点 0相等； 又过8分钟，
x,y
2x=500-2y JOx =10y -500
甲-0一甲^ ----------------- 甲^
解得 12x=8y
乙0
答甲和乙的速度比是 2比3。
例4?在三角形内（不在边上）有 3个点，连同原三角形三个顶点，共 点，以这6个点为顶点，作出所有不重迭的三角形共有几个？
（佃89年全国初中数学联赛题）
6个
解：如图厶ABC中一个点D，与A，B，C各点连结可得3个不重迭的三角 形；再增加
1个点E,这时可连结不重迭的三角形共 5个，再增加1个点F, 又可增加2个不重迭的
三角形，共有 7个。
三、练习
1. ___________________________ 数一数：甲图中有直角三角形 ____ 个，乙图中有
等腰直角三角 ______________________ 个,
丙图中有全等三角形.
对。
E D
甲
B 丙 C
C三点在同一直线上,
条，记作
2.
C，D，E,其中 A，B， 平面上有 5个点A， B，
那么以这 5个点为端点的线段共有
3. 以0为端点画6条射线OA , OB, OC, 0D, OE,OF,那么可组成的角（小
于平角）最多是—个，最少是 ________ 个，试分别画出草图。
4. 在三角形内有n个点（n为整数）与原三角形3个顶点共n+ 3个点，以
这些点为顶点可连成不重迭的三角形最多有 _________ 个。
5. ________________ 下图中三角形 _____________________________ 个其中等腰三
角形—个，直角三角形 __ 个,
全等的等腰三角形—组，每组—个, 全等的直角三角形 组，每组—个。
6. 如图长方形 ABCD中，E, F, G分别在边
BC , CD , DA上，以A为一个顶点，其他两点 在B , C, D, E, F, G中任选，总共可组成的
B
三角形的个数是— （佃87年泉州市初二数学双基赛题）
乙0
答甲和乙的速度比是 2比3。
7. 平面上有6个点A , B, C, D, E, F其中任意3个点都不在同一直线 上，如果不使图形出现有 3个点两两连线，那么最多可连接线段几条？ 试画出草图
0C丄AB于O, 0D丄OE于0,写出图中
相等的角： 互余的角： ___ 互补的角： ___
O
C F
如图长方形 ABCD中，AB = 5, BC = 4,
AE = BF = 1, CG= DH = 2
那么四边形EFGH的面积是—（平方单位）
10.
上，至U 如图A , B , C, D四点在同一直线
A , B , C, D各点距离之和为
最小值的点在什么位置？有几个符合条件的点？距离之和的最小值可用 哪些线段的长度来表示？（
佃87年全国初中数学联赛题）
A 11.
B C
正方形的边长为a，以四4个半圆，求这四个
条边长为直径，向形内作 半圆相交所成的菊花形面积。
12.
下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体? 答: （）
LI
(A)
(B) (C) (D)
100米，第二次相遇时，甲还差 60米
13. 甲，乙两人沿着圆周同时匀速前进，开始他们位于一条直径的两端，相
向而行，第一次相遇时，乙走了 走完一圈。求这个圆的周长。
提示：可设 圆周长为x米，并引入参数 V甲，V乙列方程组解之
14. 正方形ABCD边长为a,在点A处有个质点P,在点B处有个质点 Q,
两个质点同时依反时针方向， 沿正方形的边线作匀速的运动，
2
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