1.3 三角函数的诱导公式（二）
学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问 题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一 般的数学推理意识和能力 .3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现 问题、解决问题的能力.
知识点一 诱导公式五
完成下表，并由此总结角 α ，角 π
2－ α 的三角函数值间的关系.
(1)sinπ 1 π 1 π6 ＝ 2， cos 3 ＝ 2， sin 6 ＝cos π
3
；
(2)sinπ 2 π4 ＝ 2 ，cos 4 ＝ 22 ， sin π π
4＝ cos 4；
(3)sinπ 3 ＝ 32 ， cos π 3 π π
6 ＝ 2 ，sin 3＝ cos 6.
由此可得 诱导公式五
sin
( 2)=cos α ，
cos
(
2) =sin α .
知识点二 诱导公式六
思考 能否利用已有公式得出 π
2＋ α 的正弦、余弦与角 α 的正弦、余弦
答案
以－α 代替公式五中的 α 得到
sin
α ＋π
2 ＝
cos(－α )，
cos
α ＋π
2 ＝
sin(－α ). 由此可得 诱导公式六
sin ()
=cos α ，
2
之间的关系？
cos (
2
)= － sin
α .
知识点三 诱导公式的推广与规律
3 3
1.sin( π －α )＝－cos α ，cos( π －α )＝－sin α ，
2 2 3 3
sin( π ＋α )＝－cos α ，cos( π ＋α )＝sin α .
2 2 2.诱导公式记忆规律：
公式一～四归纳：α ＋2kπ (k∈Z)，－α ，π ±α 的三角函数值，等于角 α 的同名三角函 数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象 限”.
π
公式五～六归纳： ±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加
2 上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变 余、余变正、符号象限定”.
π
六组诱导公式可以统一概括为“k· ±α (k∈Z)”的诱导公式.
2
π
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指 k· ±α (k∈Z)中 k 的奇偶性，
2 当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是 诱导公式中，把 α 看成锐角时原函数值的符号，而不是 α 函数值的符号.
类型一 利用诱导公式求值
1
例 1 (1)已知 cos(π ＋α )＝－ ，α 为第一象限角，求 cos
2
π
的值.
＋α 2
π
(2)已知 cos
1
＝ ，求 cos 3
5π
2π
－α
6
的值.
＋α ·sin －α 6 3
1
解 (1)∵cos(π ＋α )＝－cos α ＝－ ，
2 1
∴cos α ＝ ，又 α 为第一象限角，
2
α
则 cos ＋＝－sin α ＝－ 1－cos2α
π
2
＝－
－
1 3 12＝－ . 2 2
(2)cos
5π 6
＋α
2π
·sin －α
3
α
＝cos
π π－6
－α
π
·sinπ－ ＋ 3
－cos
π ＝ －α
6
π ·sin ＋α 3
1 π π ＝－ sin － －α
3 2 6 1 ＝－ cos3
π －α 6
1 ＝－ . 9
反思与感悟
对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如
π π
－α 与 ＋ 3 6
π π π π π 2π π 3π
α ， ＋α 与 －α ， －α 与 ＋α 等互余， ＋θ 与 －θ ， ＋θ 与 －θ 等互 3
6 4 4 3 3 4 4
补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.
π
跟踪训练 1 已知 sin
3
＝ ，求 cos 3
π
＋α
6
的值.
－α
3
π π π
解 ∵ ＋α ＋ －α ＝ ，
6 3 2
π π π
∴ －α ＝ － ＋α . 3 2 6
α
π ∴cos 3
－α
π π ＝cos －2 6
＋
sin
π ＝3
＝ ＋α .
6 3
类型二 利用诱导公式证明三角恒等式
tan2π －α sin－2π －α cos6π－α
例 2 求证： ＝－tan α .
3π 3π
sinα ＋ cosα＋
2 2
证明 ∵左边＝
tan－α ·sin－α ·cos－α π π sin2π － －α ·cos2π－ －α
2 2
＝
－tan α ·－sin α ·cos α
π π
2020高中数学必修四导学案：第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二_含答案
