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分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．
AA?MAA?M，?．(其中M是不等于零的整式) ?BB?MBB?M （3）分式的运算 ①加减法：
aba?bacad?bc，??． ??cccbdbdacac②乘法：． ?bdbdacadad③除法：??． ?bdbcbcnan?a?④乘方：???n（n为正整数）．
?b?b要点诠释：
解分式方程的注意事项：
（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；
（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．
列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审——仔细审题，找出等量关系； (2)设——合理设未知数； (3)列——根据等量关系列出方程； (4)解——解出方程； (5)验——检验增根； (6)答——答题．
【典型例题】
类型一、实数的有关概念及运算
1．实数?2，0.3，
1，2，?π中，无理数的个数是（ ） 7A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】常见的无理数有以下几种形式：
（1）字母型：如π是无理数，
??、等都是无理数，而不是分数； 24（2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；
36，（3）根式型：2、5、…都是一些开方开不尽的数；
（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.
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【答案】A；
【解析】本题主要考查无理数的概念.无理数是指无限不循环小数，2，?π都是无限不循环小数， 故共有2个无理数.
【总结升华】无理数通常有以下几类：①开方开不尽的数；②含?的数；③看似循环但实际不循环的小
数；④三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.抓住这几类无理数特征，则可以轻松解决有关无理数的相关试题. 举一反三：
【课程名称：数与式综合复习 402392 ：例1—2】
【变式】如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点为C，则点C所表
示的数为( )．
A．?2?3
【答案】A.
2．计算：
B．－1?3 C．?2?3
D．1?3
??2?2?85(1)?2?0.25??4?????9?40?； (2)(?2)?25 ．
??3????3【思路点拨】注意在第（1）题中，?2与(?2)的不同运算顺序和4?【答案与解析】
334?9的运算顺序. 9??2?2?(1)?2?0.25??4?????9?40?
????3??34????8?0.25??4??9?40?
9???9???2??4??9?40???2?(81?40)??2?41??43．
4?? (2)(?2)?25?4?25?25?(4?25)?25?100?25?2500000000．
【总结升华】在进行有理数运算时，要注意运算的顺序，要有灵活运用运算律、运算法则和相反数、倒数、0、1的运算特性的意识，寻求简捷的运算途径．
举一反三： 【变式】?8544442?517???????(?2.4)； 5?8612?资料来源于网络 仅供免费交流使用
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【答案】?
2?517?2??????(?2.4)???1.5?0.4?1.4??1.5?1.4??2.9 ． 5?8612?5y33． 若x-3+x-y+1=0，计算xy+xy+. 422【思路点拨】几个非负数相加和为0，则这几个非负数必定同时为0，进而求出x、y的值. 【答案与解析】
依题意得?2?x?3?0,?x?3,解得?
x?y?1?0,y?4,??2y3y2yy42 ∴xy+xy+?y(x+xy+)?y(x+)2?(x+)y?(3?)?4?10.
442222【总结升华】a,a(a≥0)，a这三个非负数中任意几个相加得0，则每一个都得0.
举一反三：
【变式】已知|a?1|?8?b?0，则a?b? ．
【答案】本题考查绝对值与算数平方根的非负性，两个非负数的和为0，所以这两数都为0.
因为|a?1|?8?b?0，所以a=-1,b=8. a?b?﹣9.
类型二、分式的有关运算
x2?14．对于分式，当x取何值时，
x?1(1)分式有意义? (2)分式的值等于零?
【思路点拨】当分母等于零时，分式没有意义，此外，分式都有意义；当分子等于零，并且分母不等于零时，分式的值等于零. 【答案与解析】
(1)由分母x+1＝0，得x＝-1．
x2?1 ∴ 当x≠-1时，分式有意义．
x?1(2)由分子x?1?0，得x?1或x??1． 而当x＝-1时，分母x+1＝0； 当x＝1时，分母x?1?0．
2x2?1 ∴ 当x＝l时，分式的值等于零．
x?1【总结升华】讨论分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式．
类型三、二次根式的运算
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5．（2014春?平泉县校级期中）已知a=【思路点拨】
，求﹣的值．
先利用因式分解原式进行化简，再进行约分和利用二次根式的性质计算，由于a=则a﹣4＜0，所以原式可化简为a﹣3+，然后把a的值代入计算即可． 【答案与解析】 解：原式==a﹣3﹣∵a=
=4﹣2
， ， ﹣
=4﹣2，
∴a﹣4＜0， ∴原式=a﹣3+=a﹣3+， =4﹣2=2﹣
﹣3+．
【总结升华】本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．也考查了分式的混合运算．
举一反三：
2【变式】计算：(18?48)(2?12)?(2?3)；
2【答案】(18?48)(2?12)?(2?3)?(32?43)(2?23)?(2?26?3)
?6?46?66?24?5?26??23．
6．当x为何值时，下列式子有意义？ （1）?3?2x； （2）
1?2x． x?5【思路点拨】第（1）题中，根号外的负号与根号是否有意义无关；第（2）题中，因为与分式有关，因此要综合考虑x的取值范围．
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【答案与解析】
（1）3?2x?0，即x?∴ 当x?3． 23时，?3?2x有意义． 2（2）1?2x?0，且x+5≠0，
∴ 当x?1?2x1，且x≠-5时，有意义．
x?52【总结升华】要使偶次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义分母不为0.
举一反三：
【课程名称：数与式综合复习 402392 ：例1—2】 【变式】下列说法中，正确的是( )
A．3的平方根是3 B．5的算术平方根是5
C．－7的平方根是?【答案】B.
?7 D．a的算术平方根是a
类型四、数与式的综合运用
7．（2014秋?崂山区校级期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面：
（1）观察图形，填写下表： … 图形 （1） （2） （3） … 4 7 黑色瓷砖的块数 … 15 25 黑白两种瓷砖的总块数 （2）依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为 ；黑白两种瓷砖的总块数为 （都用含n的代数式表示）
（3）白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多2015块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由．
【思路点拨】找规律题至少要推算出三个式子的值，再去寻求规律，考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力. 【答案与解析】解：（1）填表如下： … 图形 （1） （2） （3） … 4 7 黑色瓷砖的块数 10 15 25 黑白两种瓷砖的总块数 35 … （2）第n个图形中黑色瓷砖的块数为3n+1；黑白两种瓷砖的总块数为10n+5； （3）能，理由如下：
10n+5﹣（3n+1）﹣（3n+1）=2015，
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新人教版初中数学[中考总复习：数与式综合复习--知识点整理及重点题型梳理](基础)
