――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
三角函数
1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。
2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示:
(1)?终边与?终边相同(?的终边在?终边所在射线上)?????2k?(k?Z),注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角?1825?的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。
5(答:?25;??)
36(2)?终边与?终边共线(?的终边在?终边所在直线上) ?????k?(k?Z). (3)?终边与?终边关于x轴对称??????2k?(k?Z). (4)?终边与?终边关于y轴对称???????2k?(k?Z). (5)?终边与?终边关于原点对称???????2k?(k?Z).
(6)?终边在x轴上的角可表示为:??k?,k?Z;?终边在y轴上的角可表示为:
?k????k??,k?Z;?终边在坐标轴上的角可表示为:??,k?Z.如?的终边与的
226终边关于直线y?x对称,则?=____________。
(答:2k???3,k?Z)
4、?与?的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若?是第二象限角,
2则
?是第_____象限角 2(答:一、三)
5.弧长公式:l?|?|R,扇形面积公式:S?1lR?1|?|R2,1弧度(1rad)?57.3. 如
22已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。
(答:2cm2)
6、任意角的三角函数的定义:设?是任意一个角,P(x,y)是?的终边上的任意一点
yx(异于原点),它与原点的距离是r?x2?y2?0,那么sin??,cos??,
rrxryrtan??,?x?0?,cot??(y?0),sec???x?0?,csc???y?0?。三角函数值只
yyxx与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关。如
(1)已知角?的终边经过点P(5,-12),则sin??cos?的值为__。
7(答:?);
131
(2)设?是第三、四象限角,sin??2m?3,则m的取值范围是_______ 4?m3(答:(-1,));
2(3)若
|sin?|cos???0,试判断cot(sin?)?tan(cos?)的符号 sin?|cos?|(答:负)
7.三角函数线的特征是:正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点A(1,0)处(起点是y T 解A)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和 B S 三角不等式。如 P (1)若?_____
(答:tan??sin??cos?);
(2)若?为锐角,则?,sin?,tan?的大小关系为_______
?8???0,则sin?,cos?,tan?的大小关系为
α O M A x (答:sin????tan?);
(3)函数y?1?2cosx?lg(2sinx?3)的定义域是_______
?2?(答:(2k??,2k??](k?Z))
338.特殊角的三角函数值: 30460912 15° 75° ° 5° 0° ° 0° 80° 70° sin? cos?1 23222320 1 0 -1 0 -1 0 6?246?24 22 12 6?246?24 1 0 333 3 2-3 2+3 tan? 1 330 9. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系:sin2??cos2??1,1?tan2??sec2?,1?cot2??csc2? (2)倒数关系:sin?csc?=1,cos?sec?=1,tan?cot?=1,
sin?cos?,cot??(3)商数关系:tan?? cos?sin?同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数2
cot? 1 0 0 2+3 2-3 的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如
sin??tan?(1)函数y?的值的符号为____
cos??cot?(答:大于0);
(2)若0?2x?2?,则使1?sin22x?cos2x成立的x的取值范围是____ ?3(答:[0,][?,?]);
44m?34?2m?(3)已知sin??,cos??(????),则tan?=____
m?5m?525(答:?);
12tan?sin??3cos?(4)已知=___;sin2??sin?cos??2=____ ??1,则
tan??1sin??cos?513(答:?;);
35(5)已知sin200??a,则tan160?等于
1?a21?a2 A、? B、 C、? D、
22aa1?a1?aaa(答:B);
(6)已知f(cosx)?cos3x,则f(sin30?)的值为______
(答:-1)。
k10.三角函数诱导公式(???)的本质是:奇变偶不变(对k而言,指k取奇数或
2偶数),符号看象限(看原函数,同时可把?看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成2k?+?,0???2?;(2)转化为锐角三角函数。如
9?7?(1)cos?tan(?)?sin21?的值为________
4623?(答:); 234(2)已知sin(540???)??,则cos(??270?)?______,若?为第二象限角,则
5[sin(180???)?cos(??360?)]2?________。 ?tan(180??)43(答:?;?)
510011、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令???sin??????sin?cos??cos?sin?????sin2??2sin?cos?
3
cos??????cos?cos? tan??????令???sin?sin?????cos2??cos2??sin2? ??2cos2??1?1?2sin2?tan??tan?1+cos2? ?cos2?=1tan?tan?21?cos2? ?sin2?=22tan? tan2??1?tan2?1如(1)下列各式中,值为的是
2?? A、sin15cos15 B、cos2?sin2
1212tan22.51?cos30 C、 D、 1?tan222.52
(答:C);
(2)命题P:tan(A?B)?0,命题Q:tanA?tanB?0,则P是Q的 A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
(答:C);
3(3)已知sin(???)cos??cos(???)sin??,那么cos2?的值为____
57(答:);
2513?(4)的值是______ sin10sin80(答:4); (5)已知tan1100?a,求tan500的值(用a表示)甲求得的结果是1?a2的结果是,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______
2aa?3,乙求得
1?3a(答:甲、乙都对)
12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
(1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如??(???)???(???)??,2??(???)?(???),
???????2??(???)?(???),????2?,,如 ???????等)
22222?1?(1)已知tan(???)?,tan(??)?,那么tan(??)的值是_____
54443(答:);
22????4
(2)已知0???值
?2????,且cos(???1?2)??,sin(??)?,求cos(???)的2923(答:
490); 7293(3)已知?,?为锐角,sin??x,cos??y,cos(???)??,则y与x的函数关系
5为______
343(答:y??1?x2?x(?x?1))
555(2)三角函数名互化(切割化弦),如 (1)求值sin50(1?3tan10)
(答:1);
sin?cos?2(2)已知?1,tan(???)??,求tan(??2?)的值
1?cos2?31(答:)
8(3)公式变形使用(tan??tan??tan??????1tan?tan??。如
(1)已知A、B为锐角,且满足tanAtanB?tanA?tanB?1,则cos(A?B)=_____
(答:?(2)设?ABC中,tanA?tanB?3?3tanAtanB,sinAcosA?____三角形
(答:等边)
1?cos2?1?cos2?(4)三角函数次数的降升(降幂公式:cos2??,sin2??与升幂公
22式:1?cos2??2cos2?,1?cos2??2sin2?)。如
31111(1)若??(?,?),化简??cos2?为_____
222222); 23,则此三角形是4(答:sin(2)函数f(x)?5sinxcosx?53cos2x??2);
53(x?R)的单调递增区间为____ 2?5?](k?Z)) (答:[k??,k??1212(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如
sin??tan?(1)tan?(cos??sin?) ?
cot??csc?(答:sin?);
(2)求证:
1?sin?1?2sin21?tan?1?tan2??2;
?25
三角函数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】
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