――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
三角函数
1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：
（1）?终边与?终边相同(?的终边在?终边所在射线上)?????2k?(k?Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角?1825?的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
5（答：?25；??）
36（2）?终边与?终边共线(?的终边在?终边所在直线上) ?????k?(k?Z). （3）?终边与?终边关于x轴对称??????2k?(k?Z). （4）?终边与?终边关于y轴对称???????2k?(k?Z). （5）?终边与?终边关于原点对称???????2k?(k?Z).
（6）?终边在x轴上的角可表示为：??k?,k?Z；?终边在y轴上的角可表示为：
?k????k??,k?Z；?终边在坐标轴上的角可表示为：??,k?Z.如?的终边与的
226终边关于直线y?x对称，则?＝____________。
（答：2k???3,k?Z）
4、?与?的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若?是第二象限角，
2则
?是第_____象限角 2（答：一、三）
5.弧长公式：l?|?|R，扇形面积公式：S?1lR?1|?|R2，1弧度(1rad)?57.3. 如
22已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（答：2cm2）
6、任意角的三角函数的定义：设?是任意一个角，P(x,y)是?的终边上的任意一点
yx（异于原点），它与原点的距离是r?x2?y2?0，那么sin??,cos??，
rrxryrtan??,?x?0?，cot??(y?0)，sec???x?0?，csc???y?0?。三角函数值只
yyxx与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如
（1）已知角?的终边经过点P(5，－12)，则sin??cos?的值为＿＿。
7（答：?）；
131
（2）设?是第三、四象限角，sin??2m?3，则m的取值范围是_______ 4?m3（答：（－1，)）；
2（3）若
|sin?|cos???0，试判断cot(sin?)?tan(cos?)的符号 sin?|cos?|（答：负）
7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点A(1,0)处(起点是y T 解A)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和 B S 三角不等式。如 P （1）若?_____
(答：tan??sin??cos?)；
（2）若?为锐角，则?,sin?,tan?的大小关系为_______
?8???0，则sin?,cos?,tan?的大小关系为
α O M A x （答：sin????tan?）；
（3）函数y?1?2cosx?lg(2sinx?3)的定义域是_______
?2?（答：(2k??,2k??](k?Z)）
338.特殊角的三角函数值： 30460912 15° 75° ° 5° 0° ° 0° 80° 70° sin? cos?1 23222320 1 0 －1 0 －1 0 6?246?24 22 12 6?246?24 1 0 333 3 2-3 2+3 tan? 1 330 9. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：sin2??cos2??1,1?tan2??sec2?,1?cot2??csc2? （2）倒数关系：sin?csc?=1,cos?sec?=1,tan?cot?=1,
sin?cos?,cot??（3）商数关系：tan?? cos?sin?同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数2
cot? 1 0 0 2+3 2-3 的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如
sin??tan?（1）函数y?的值的符号为____
cos??cot?（答：大于0）；
（2）若0?2x?2?，则使1?sin22x?cos2x成立的x的取值范围是____ ?3（答：[0,][?,?]）；
44m?34?2m?（3）已知sin??，cos??(????)，则tan?＝____
m?5m?525（答：?）；
12tan?sin??3cos?（4）已知＝___；sin2??sin?cos??2＝____ ??1，则
tan??1sin??cos?513（答：?；）；
35（5）已知sin200??a，则tan160?等于
1?a21?a2 A、? B、 C、? D、
22aa1?a1?aaa（答：B）；
（6）已知f(cosx)?cos3x，则f(sin30?)的值为______
（答：－1）。
k10.三角函数诱导公式（???）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或
2偶数），符号看象限（看原函数，同时可把?看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k?+?,0???2?；(2)转化为锐角三角函数。如
9?7?（1）cos?tan(?)?sin21?的值为________
4623?（答：）； 234（2）已知sin(540???)??，则cos(??270?)?______，若?为第二象限角，则
5[sin(180???)?cos(??360?)]2?________。 ?tan(180??)43（答：?；?）
510011、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
令???sin??????sin?cos??cos?sin?????sin2??2sin?cos?
3
cos??????cos?cos? tan??????令???sin?sin?????cos2??cos2??sin2? ??2cos2??1?1?2sin2?tan??tan?1+cos2? ?cos2?＝1tan?tan?21?cos2? ?sin2?＝22tan? tan2??1?tan2?1如（1）下列各式中，值为的是
2?? A、sin15cos15 B、cos2?sin2
1212tan22.51?cos30 C、 D、 1?tan222.52
（答：C）；
（2）命题P：tan(A?B)?0，命题Q：tanA?tanB?0，则P是Q的 A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
（答：C）；
3（3）已知sin(???)cos??cos(???)sin??，那么cos2?的值为____
57（答：）；
2513?（4）的值是______ sin10sin80（答：4）； (5)已知tan1100?a，求tan500的值（用a表示）甲求得的结果是1?a2的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______
2aa?3，乙求得
1?3a（答：甲、乙都对）
12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如??(???)???(???)??，2??(???)?(???)，
???????2??(???)?(???)，????2?，，如 ???????等）
22222?1?（1）已知tan(???)?，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____
54443（答：）；
22????4
（2）已知0???值
?2????，且cos(???1?2)??，sin(??)?，求cos(???)的2923（答：
490）； 7293（3）已知?,?为锐角，sin??x,cos??y，cos(???)??，则y与x的函数关系
5为______
343（答：y??1?x2?x(?x?1)）
555(2)三角函数名互化(切割化弦)，如 （1）求值sin50(1?3tan10)
（答：1）；
sin?cos?2（2）已知?1,tan(???)??，求tan(??2?)的值
1?cos2?31（答：）
8(3)公式变形使用（tan??tan??tan??????1tan?tan??。如
（1）已知A、B为锐角，且满足tanAtanB?tanA?tanB?1，则cos(A?B)＝_____
（答：?(2)设?ABC中，tanA?tanB?3?3tanAtanB，sinAcosA?____三角形
（答：等边）
1?cos2?1?cos2?(4)三角函数次数的降升(降幂公式：cos2??，sin2??与升幂公
22式：1?cos2??2cos2?，1?cos2??2sin2?)。如
31111(1)若??(?,?)，化简??cos2?为_____
222222）； 23，则此三角形是4（答：sin（2）函数f(x)?5sinxcosx?53cos2x??2）；
53(x?R)的单调递增区间为____ 2?5?](k?Z)） （答：[k??,k??1212(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如
sin??tan?（1）tan?(cos??sin?) ?
cot??csc?（答：sin?）；
（2）求证：
1?sin?1?2sin21?tan?1?tan2??2；
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三角函数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】
