第2 椭圆的几何性质及应用
学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的位置关系等知识.3.会判断直线与椭圆的位置关系．
知识点一 点与椭圆的位置关系
x2y2
思考 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆2＋2＝1(a>b>0)的位置
ab关系的判定吗？
x2y200
答案 当P在椭圆外时，2＋2>1；
abx2y200
当P在椭圆上时，2＋2＝1；
abx2y200
当P在椭圆内时，2＋2<1.
abx2y2
梳理 设P(x0，y0)，椭圆2＋2＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：
ab位置关系 满足条件 P在椭圆外 P在椭圆上 P在椭圆内
知识点二 直线与椭圆的位置关系
x2y2002＋2>1 abx2y2002＋2＝1 abx2y2002＋2<1 ab思考 类比直线与圆的位置关系，给出直线与椭圆的位置关系． 答案 有三种位置关系：相离、相切和相交． 梳理 判断直线和椭圆位置关系的方法
x2y2
直线y＝kx＋m与椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：
aby＝kx＋m，??22
联立?xy2＋2＝1，??ab
消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切； 当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离． 知识点三 弦长公式
x2y2
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆2＋2＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)，
abB(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长．弦长公式：|AB|
＝1＋k·?x1＋x2?－4x1x2，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．(√) (2)直线－y＝1被椭圆＋y＝1截得的弦长为5.(√)
24
2
2
xx2
2
x2y2
(3)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(×)
abx2y2
(4)直线y＝k(x－a)与椭圆2＋2＝1的位置关系是相交．(√)
ab
类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断
例1 已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．
94考点 椭圆的简单几何性质 题点 点与椭圆的位置关系
33??33??
答案 ?－∞，－?∪?，＋∞?
2??2??解析 由题可知＋>1， 943333
解得k<－或k>.
22引申探究
若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？ 42??42??
答案 ?－∞，－?∪?，＋∞?
3??3??
x2y2
k21
1k232
解析 由＋>1，解得k>，
9494242
即k<－或k>.
33
反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．
2
x2y2
跟踪训练1 已知点(3,2)在椭圆2＋2＝1(a>b>0)上，则( )
abA．点(－3，－2)不在椭圆上 B．点(3，－2)不在椭圆上 C．点(－3,2)在椭圆上 D．以上都不正确
考点 椭圆的简单几何性质 题点 点与椭圆的位置关系 答案 C
94
解析 由已知，得2＋2＝1，只有选项C正确．
ab命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断
例2 对不同的实数m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y＝1的位置关系．
4考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题
x2
2
y＝x＋m，??2
解 由?x2
＋y＝1，??4
2
2
消去y，
得5x＋8mx＋4m－4＝0，
Δ＝(8m)2－4×5×(4m2－4)＝16×(5－m2)．
当－5＜m＜5时，Δ＞0，直线与椭圆相交； 当m＝－5或m＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m＜－5或m＞5时，Δ＜0，直线与椭圆相离．
反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．
跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围． 考点 直线与椭圆的位置关系
x2
2
题点 直线与椭圆的公共点个数问题
解 由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋2， 代入椭圆方程得＋(kx＋2)＝1，
2
x2
2
?12?2
整理得?＋k?x＋22kx＋1＝0，
?2?
2?12?22
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k－4?＋k?＝4k－2＞0，解得k＜－
2?2?或k＞
2
， 2
所以k的取值范围为?－∞，－类型二 弦长问题
??2??2??∪?，＋∞?. 2??2?
例3 已知椭圆4x＋5y＝20的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，
22
B两点，求弦长|AB|.
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积 解 椭圆的标准方程为＋＝1，
54
x2y2
a＝5，b＝2，c＝1，
∴直线l的方程为y＝x＋1(不失一般性，设l过左焦点)．
??y＝x＋1，由?22
??4x＋5y＝20，
消去y，得9x＋10x－15＝0.
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 105则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
93
|AB|＝2|x1－x2|＝2·?x1＋x2?－4x1x2 ＝2·2
?－10?2－4×?－5?＝2×810＝165. ?9??3?99????
反思与感悟 求解弦长时，需正确记忆公式内容，其次，准确得到x1＋x2和x1x2的值．
x2y23
跟踪训练3 椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，
ab2Q两点，若|PQ|＝10，求椭圆方程．
考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程
解 ∵e＝3122
，∴b＝a， 24
2
2
2
∴椭圆方程为x＋4y＝a， 与x＋2y＋8＝0联立消去y， 得2x＋16x＋64－a＝0， 由Δ＞0，得a＞32，
52
由弦长公式，得10＝×[64－2(64－a)]，
4∴a＝36，b＝9， ∴椭圆方程为＋＝1.
369
类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x＋y＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题
??4x＋y＝1，
解 (1)由?
??y＝x＋m，
22
22
2
2
2
2
2
2
x2y2
消去y，得5x＋2mx＋m－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m－20(m－1)≥0，解得－
2
2
2
55
≤m≤. 22
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知，5x＋2mx＋m－1＝0， 2m12
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m－1)，
55所以|AB|＝?x1－x2?＋?y1－y2? ＝2?x1－x2?＝2[?x1＋x2?－4x1x2] ＝
2
2
2
2
2
2
?4m42?222?－?m－1??＝10－8m. ?255?5
2所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x. 反思与感悟 求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值．
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2第2课时椭圆的几何性质及应用学案新人教A版选修
