高考导数题型分析及解题方法
本知识单元考查题型与方法：
※※与切线相关问题（一设切点，二求导数=斜率=线联立方程求解）；
※※其它问题（一求导数，二解f'(x)=0的根—若含字母分类讨论，三列3行n列的表判单调区间和极值。结合以上所得解题。）
特别强调：恒成立问题转化为求新函数的最值。导函数中证明数列型不等式注意与原函数联系构造，一对多涉及到求和转化。 关注几点：
恒成立：（1）定义域任意x有f(x)>k,则f(x)min>常数k；
（2）定义域任意x有f(x) 【f(x)-g(x)】恰成立：（1）对定义域内任意x有f(x)?g(x)恒成立，则min?0, 【f(x)-g(x)】（2）若对定义域内任意x有f(x)?g(x)：恒成立，则max?0 y2?y1，三代切点入切线、曲x2?x1能成立：（1）分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数f(x)和g(x)，对任意的x1?[a,b],存在 x2?[c,d],使得f(x1)?g(x2)，则f(x)max?g(x)max （2）分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数f(x)和g(x)，对任意的x1?[a,b],存在x2?[c,d],使得f(x1)?g(x2)，则f(x)min?g(x)min 一、考纲解读 考查知识题型：导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值；证明不等式、求参数范围等 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 32f(x)?x?3x?2在区间??1,1?上的最大值是 2 1． 22．已知函数y?f(x)?x(x?c)在x?2处有极大值，则常数c＝ 6 ； 33．函数y?1?3x?x有极小值 －1 ,极大值 3 精选 题型二：利用导数几何意义求切线方程 3??1,?3?处的切线方程是 y?x?2 y?4x?x1．曲线在点 42．若曲线f(x)?x?x在P点处的切线平行于直线3x?y?0，则P点的坐标为 （1，0） 4y?x3．若曲线的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为 4x?y?3?0 4．求下列直线的方程： 322 （1）曲线y?x?x?1在P(-1,1)处的切线； （2）曲线y?x过点P(3,5)的切线； 32 ?y/?3x2?2x ?k?y/|x?－1?3－2?1 解：（1）?点P(?1,1)在曲线y?x?x?1上， ， 即x?y?2?0 所以切线方程为y?1?x?1 / （2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0)，则y0?x0①又函数的导数为y?2x， 2所以过A(x0,y0)点的切线的斜率为 k?y|x?x0?2x0/，又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点，所以有 2x0?y0?5x0?3②，由①②联 ?x0?1?x0?5?y?1 或 ?y?25?0立方程组得，?0，即切点为（1，1）时，切线斜率为k1?2x0?2;；当切点为（5，25）时，切线斜 即y?2x?1 或y?10x?25 率为k2?2x0?10；所以所求的切线有两条，方程分别为y?1?2(x?1)或y?25?10(x?5)，题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 32f(x)?x?ax?bx?c,过曲线y?f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1 1．已知函数 （Ⅰ）若函数f(x)在x??2处有极值，求f(x)的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y?f(x)在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数y?f(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围 322?f(x)?x?ax?bx?c,求导数得f(x)?3x?2ax?b. 解：（1）由 ?过y?f(x)上点P(1,f(1))的切线方程为： y?f(1)?f(1)(x?1),即y?(a?b?c?1)?(3?2a?b)(x?1). 而过y?f(x)上P[1,f(1)]的切线方程为y?3x?1. ?3?2a?b?3?故?a?c??3?2a?b?0即??a?c??3 ① ② ?∵y?f(x)在x??2时有极值,故f(?2)?0,??4a?b??12 ③ 32?(x)?3x2?4x?4?(3x?2)(x?2).ff(x)?x?2x?4x?5.由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴ （2） 2?3?x??2时,f?(x)?0;当?2?x?时,f?(x)?0;3当 精选 2当?x?1时,f?(x)?0.?f(x)极大?f(?2)?133 又f(1)?4,?f(x)在[－3，1]上最大值是13。 2?f(x)?3x?2ax?b,由①知2a+b=0。 （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又 2??依题意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3x?bx?b?0. x?①当 b?1时,f?(x)min?f?(1)?3?b?b?0,?b?66； b??2时,f?(x)min?f?(?2)?12?2b?b?0,?b??6； x?②当 612b?b2?2??1时,f?(x)min??0,则0?b?6.b12③当 综上所述，参数b的取值范围是[0,??) 32f(x)?x?ax?bx?c在x?1和x??1时取极值，且f(?2)??4． 2．已知三次函数 (1) 求函数y?f(x)的表达式； (2) 求函数y?f(x)的单调区间和极值； (3) 若函数g(x)?f(x?m)?4m(m?0)在区间[m?3,n]上的值域为[?4,16]，试求m、n应满足的条件． 2?解：(1) f(x)?3x?2ax?b， 2由题意得，1,?1是3x?2ax?b?0的两个根，解得，a?0,b??3． 3f(x)?x?3x?2． f(?2)??4c??2再由可得．∴?(x)?3x2?3?3(x?1)(x?1)f (2) ， ????当x??1时，f(x)?0；当x??1时，f(x)?0；当?1?x?1时，f(x)?0；当x?1时，f(x)?0； ?当x?1时，f(x)?0．∴函数f(x)在区间(??,?1]上是增函数； ]上是减函数；在区间[1,??)上是增函数。函数f(x)的极大值是f(?1)?0，极小值是f(1)??4． 在区间[?1,１(3) 函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的， 所以，函数f(x)在区间[?3,n?m]上的值域为[?4?4m,16?4m]（m?0）． 而f(?3)??20，∴?4?4m??20，即m?4． 于是，函数f(x)在区间[?3,n?4]上的值域为[?20,0]． 令f(x)?0得x??1或x?2．由f(x)的单调性知，?1剟n?4综上所述，m、n应满足的条件是：m?4，且3剟n3．设函数f(x)?x(x?a)(x?b)． 2，即3剟n6． 6． （1）若f(x)的图象与直线5x?y?8?0相切，切点横坐标为２，且f(x)在x?1处取极值，求实数a,b 的值； 精选 （2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点． 2?f(x)?3x?2(a?b)x?ab. 由题意f?(2)?5,f?(1)?0，代入上式，解之得：a=1，b=1． 解：（1）22?3x?2(a?1)x?a?0.??4(a?a?1)?0,故方程有两个不令f(x)?0得方程（2）当b=1时， 因 ''f(x)?3(x?x)(x?x)fx,xx?x121212同实根． 不妨设，由可判断(x)的符号如下： '''f(x)f(x)f(x)＞０ x?x时，x?x?x时，x?x时，1122当＞０；当＜０；当 因此x1是极大值点，x2是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点。 题型四：利用导数研究函数的图象 /f1．如右图：是f（x）的导函数， (x)的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ D ） （A） （B） （C） （D） 2．函数 6 4 2 -4 -2 y 6 4 2 -4 -2 y 6 4 2 x -4 -2 y 6 4 2 y 2 4 -2 -4 x o 2 4 -2 -4 x y y?13x?4x?1的图像为3( A ) o 2 4 -2 -4 x o 2 4 -2 -4 323．方程2x?6x?7?0在(0,2)内根的个数为 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 1f(x)??x3?2ax2?3a2x?b,0?a?1.31．设函数 ? （1）求函数f(x)的单调区间、极值.（2）若当x?[a?1,a?2]时，恒有|f(x)|?a，试确定a的取值范围. 22x?a,x2?3a??f(x)??x?4ax?3a解：（1）=?(x?3a)(x?a)，令f(x)?0得1 列表如下： x （-∞，a） a （a，3a） 3a + 0 （3a，+∞） - f?(x) - 0 精选 f(x) ] 极小 Z 极大 ] ∴f(x)在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减 4f极小(x)?b?a3x?a时，3，x?3a时，f极小(x)?b 22??f(x)??x?4ax?3a（2）∵0?a?1，∴对称轴x?2a?a?1，∴f(x)在[a+1，a+2]上单调递减 ∴ ???(a?1)2?4a(a?1)?3a2?2a?1fMax， ???(a?2)2?4a(a?2)?3a2?4a?4fmin ?|?a|f?|?a|fmin?依题|f(x)|?a?Max， 即|2a?1|?a,|4a?4|?a 44?a?1[,1)解得5，又0?a?1 ∴a的取值范围是5 22．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调 区间（2）若对x?〔－1，2〕，不等式f（x）?c2恒成立，求c的取值范围。 解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f?（x）＝3x2＋2ax＋b －由f?（ 21241－a＋b＝0－3）＝93，f?（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2 1 （1，＋?） f?（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表： x 22（－?，－3） －3 0 2（－3，1） － f?（x） ＋ f（x） ? 0 ＋ 极大值 ? 极小值 ? 22所以函数f（x）的递增区间是（－?，－3）与（1，＋?），递减区间是（－3，1） 1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x?〔－1，2〕，当x＝－3时，f（x）＝27＋c 为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。 要使f（x）?c2（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c2?f（2）＝2＋c，解得c?－1或c?2 题型六：利用导数研究方程的根 31vv1．已知平面向量a=(3,－1). b=(2,2). vvvvvuvvvu（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y， 试求函数关系式k=f(t) ； (2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况. 精选
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