数学兴趣小组工作总结
第 十 一 章 反 常 积 分
§1 反常积分概念
一 问题提出
在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的
有 界性 .但在很多实际问题中往往需要突 破这 些限制 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题 .
例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v0 至少要多大 ?
设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为
g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R) 处火箭所受的引力为
2
mg R F = .
x2
于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为
g R∫ mR 2
2
mg R2
d x =1
- 1
.R r x 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球
需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”:
2r 2mgR + ∞
mg R d x = lim d x = mg R . 2 r → + R x2 ∞ R
x 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v0 至少应使
图 11 - 1
1 2
2
mv0 = 6
mg R .
用 g = 9 .81 ( m6s/) , R = 6 .371× 10( m) 代入 , 便得
2
v0 = 2 g R ≈ 11 .2( km6s/) .
例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图
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11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?
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§1 反常积分概念
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从物理学知道 , 在 不计 摩 擦力 的情 形下 , 当桶 内水 位 高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速 ( 单位 时间内 流过 单位截面积的流量 ) 为
v = 2 g( h - x) ,
其中 g 为重力加速度 .
设在很小一段时 间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为 d x , 它们之间应满足
πR2 d x = vπr2 d t ,
由此则有
图 11 - 2
R d t =d x , 2
x ∈ [0 , h] . r2 g( h - x )
所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:
h
tf =
0
R2
2
r2 g( h - x) 但是在这里因为被积函数是 [0 , h) 上的无界函数 , 所以它的确切含义应
该是
u
d
x .
tf = - 0 u → h r 2
2
d x ∫ 2 g( h - x) lim2
2
= lim -
u → h
g ·r2
h - h - u
2 h = R g . r
相对于以前所讲的定积分 ( 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提 出了两类反常积分 .
二 两类反常积分的定义
定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 [ a, + ∞ ) 上 , 且在任 何有 限
区间 [ a , u] 上可积 .如果存在极限
lim
u→ + ∞ a
f ( x) d x = J, ∫
( 1)
则称此极限 J 为函数 f 在 [ a, + ∞ ) 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) , 记作
+ ∞
J = ( x) d x , a
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f ( 1′)
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+ ∞ + ∞
并称 d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 1) 不 存 在 , 为 方 便 起 见 , 亦 称 d x
a a
f ( x) f ( x) 发散 .
类似地 , 可定义 f 在 ( - ∞ , b] 上的无穷积分 :
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第十一章 反 常 积 分
∫ f ( x )d x =lim∫f ( x) d x . - ∞
u → - ∞ u
( 2)
对于 f 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的无穷积分 , 它用前面两种无穷积分来定义 :
+ ∞
a
+ ∞
f ( x ) d x =
- ∞ ∞
d x +
- f ( x) a
f ( x) d x , ( 3)
其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 . 注 1 无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值 , 都和实数 a 的选取
无关 . 注 2 由于无穷积分 ( 3) 是由 (1 ) 、( 2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 , f 在 任 何有限区间 [ v , u] ì ( - ∞ , + ∞ ) 上 , 首先必须是可积的 .
+ ∞
注 3
a
f ( x ) d x 收 敛 的 几 何 意 义 是 : 若 f 在
[ a , + ∞ ) 上为非负连续函数 , 则图 11 - 3
中介于曲线 y = f ( x) , 直线 x = a 以及 x 轴之
间那一块向右无限 延伸的阴影区域有面积 J .
例 3 讨论无穷积分
∞
+
图 11 - 3
d x
的收敛性 .
解 由于
1
xp ( 4)
1
u 11
- 1 ) , p ≠ 1 , 1 - = - p( u p p xln u , p = 1 ,
1
d x , p > 1 lim= p - 1 d x
∫ u → + ∞ 1
xp
+ ∞ p ≤ 1 ,
1
因此无穷积分 (4 ) 当 p > 1 时收敛 , 其值为 ; 而当 p≤1 时发散于 + ∞ .
p - 1
从图 11 - 4 看到 , 例 3 的结论是 很直观 的 : p
1
的值越大 , 曲线 y = 当 x > 1 时越靠近 x 轴 , 从 而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也 就越大 .
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xp
数学分析(华东师大)第十一章反常积分
