①求 的值
②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值
（2）若ABAC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．
【答案】 （1）解：①、∵EF∥BC ∴△AEF∽△ABC ∵AD⊥BC ∴AK⊥EF ∴ ②∵
= ①
．
② ①+②得：
又∵EH=x，AD=8，BC=12 ∴EF=12－ x ∴S=EH·EF=－
+12x=－
+24 ∴S的最大值为24
（2）解： 或
．
，求出答案；根据
【解析】【分析】根据EF∥BC得出△AEF∽△ABC，从而得到 题意得出
和
，将两式相加得到
，根据EH=x，得出EF=12－
x，根据S=EH·EF得出函数关系式，求出最大值；根据三角形相似，然后分两种情况得出答案
9．在等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动.
（1）如图1，若点D与点E重合且EG⊥AC、DF⊥BC，分别交AC、BC于点M、N，
易证EM＝EN；如图2，若点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长度还相等吗?若相等请给出证明，不相等请说明理由；
（2）将图1中的Rt△EGF绕点D顺时针旋转角度α(0°＜α＜45°). 如图2，在旋转过程中,当∠MDC＝15°时，连接MN，若AC＝BC＝2，请求出线段MN的长；
（3）图3, 旋转后,若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合)，当AB＝3AE时，线段EM与EN的数量关系是________；当AB＝m·AE时，线段EM与EN的数量关系是________.
【答案】（1）解：EM＝EN;原因如下： ∵∠ACB＝90° AC＝BC D是AB边上的中点 ∴DC＝DB ∠ACD＝∠B＝45° ∠CDB＝90° ∴∠CDF＋∠FDB＝90°
∵∠GDF＝90°∴∠GDC＋∠CDF＝90°∴∠CDM＝∠BDN 在△CDM和△BDN中
∠MCD＝∠B，DC＝DB，∠CDM＝∠BDN， ∴△CDM≌△BDN ∴DM＝DN 即EM＝EN
（2）解：作DP⊥AC于P,则
∠CDP＝45° CP＝DP＝AP＝1 ∵∠CDG＝15° ∴∠MDP＝30° ∵cos∠MDP＝
∴DM＝
， DM＝DN，
∵△MND为等腰直角三角形 ∴MN＝
（3）NE＝2ME；EN＝(m－1)ME
【解析】【解答】解：(3)NE＝2ME,EN＝(m－1)ME 证明：如图3，过点E作EP⊥AB交AC于点P
则△AEP为等腰直角三角形，∠PEB＝90° ∴AE＝PE ∵AB＝3AE ∴BE＝2AE ∴BE＝2PE 又∵∠MEP＋∠PEN＝90° ∠PEN＋∠NEB＝90° ∴∠MEP＝∠NEB 又∵∠MPE＝∠B＝45° ∴△PME∽△BNE ∴
，即EN＝2EM
由此规律可知，当AB＝m·AE时，EN＝(m－1)·ME
【分析】（1）EM＝EN;原因如下：根据等腰直角三角形的性质得出DC＝DB ∠ACD＝∠B＝45° ∠CDB＝90°根据同角的余角相等得出∠CDM＝∠BDN，然后由ASA判断出△CDM≌△BDN 根据全等三角形的对应边相等得出DM＝DN 即EM＝EN；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出∠CDP＝45° CP＝DP＝AP＝1，根据角的和差得出∠MDP＝30°，根据余弦函数的定义及特殊角的三角函数值，由cos∠MDP＝得出DM的长，又 DM＝DN，故△MND为等腰直角三角形 ，根据等腰直角三角形的性质即可得出MN的长；
(3)NE＝2ME,EN＝(m－1)ME，如图3，过点E作EP⊥AB交AC于点P，则△AEP为等腰直角三角形，∠PEB＝90°，根据同角的余角相等得出∠MEP＝∠NEB然后判断出△PME∽△BNE，根据相似三角形对应边成比例即可得出u结论，由此规律可知，当AB＝m·AE时，EN＝(m－1)·ME
10．
（1）【探索发现】 如图1，是一张直角三角形纸片， 以
，小明想从中剪出一个
为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得
的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________.
（2）【拓展应用】如图2，在 用含a、h的代数式表示 ；
中， ，BC边上的高 ，矩形PQMN
的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值
（3）【灵活应用】如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，
，小明从中剪出了一个面积最大的矩形
矩形的面积. 【答案】 （1） （2）解：
∽ ，可得
设
当
，由
时，
最大值为 . ， ，
，
，
， ， ，
为所剪出矩形的内角 ，直接写出该
（3）解：如图，过DE上的点P作 作
于点H，
于点G，延长GP交AE延长线于点I，过点P
则四边形AHPI和四边形BGPH均为矩形， 设
，则 ， ，
由 即
∽
，得
， ， 知
， ，
，
则矩形BGPH的面积
当
，
中位线，
，
，
，
时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为567.
、ED为
【解析】【解答】（1）解：
，
又
，
， ，
，
四边形FEDB是矩形，
则
故答案为： ；
，
【分析】（1）由中位线知EF= BC、ED= AB、由 △APN∽△ABC知
，可得PN=a-
，设PQ=x，由S
可得；（2）由
PQMN=PQ?PN=
矩形
，据此可得；（3）结合图形过DE上的点P作PG⊥BC于点G，延长
GP交AE延长线于点I，过点P作PH⊥AB，设PG=x，知PI=28-x，由△EIP∽△EKD知
，据此求得EI=
，PH= 可得答案.
，再根据矩形BGPH的面积S=
11．如图1，图形ABCD是由两个二次函数
与
的部分图像围成的封闭图形，已知A(1，0)、B(0，1)、D(0，﹣3)．
（1）直接写出这两个二次函数的表达式；
（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；
（3）如图2，连接BC、CD、AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C
中考数学备考之相似压轴突破训练∶培优易错试卷篇及答案(1)
