，
当 在
时，同法证明： 中，
，
，
.
，
，
，
，
（3）解：如图 中，存在 有三种情形：
过点A作
交CB的延长线于M，作
，
，
，
，
，
≌ ， ，
， ， ， ，
解得 经检验
或
舍弃 ， ， 时，点A是
的“理想点” 设
，
是分式方程的解， ，
①当
， ，设 ，
，
，
，
，
， 轴于H. ，
，
∽
， ，
，
解得
， .
②当 易知：
， .
③当 易知：
， .
综上所述，满足条件的点D坐标为 【解析】【分析】（1）结论：点D是 即可解决问题；（2）只要证明 情形：过点A作
时，点B是 ， 时，点A是 ，
，
的“理想点”.
的“理想点”.
或 或
.
∽
的“理想点” 只要证明 即可解决问题；（3）如图
中，存在 有三种
交CB的延长线于M，作 轴于 构造全等三角形，利
用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C坐标，分三种情形求解即可解决问题；
6．如图，在菱形ABCD中，
，
,点E是边BC的中点，连接DE,AE.
（1）求DE的长；
（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若 ①求证：△ ②求DF的长.
【答案】 （1）解：连结BD
△
；
,
（2）解：①
②
【解析】【分析】（1） 连结BD ，根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出△CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DE⊥BC，CE=2，然后利用勾股定理算出DE的长；
（2）①首先判断出△AGD∽△EGF，根据相似三角形对应边成比例得出∠AGE=∠DGF，故△AGE∽△DGF；
②根据相似三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长，然后过点E作EH⊥DC于点H，在Rt△ECH中，利用勾股定理算出FH的长，从而根据线段的和差即可算出答案.
， 又
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG=EK，EG的延长线交AB的延长线于F.
（1）求证：EF是⊙O的切线； （2）连接DG，若AC∥EF时. ①求证：△KGD∽△KEG； ②若
，AK=
，求BF的长.
【答案】 （1）证明：如图，连接OG.∵EG=EK，
∴∠KGE=∠GKE=∠AKH， 又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG， ∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°， ∴∠KGE+∠OGA=90°，
∴EF是⊙O的切线.
（2）解：①∵AC∥EF，∴∠E=∠C， 又∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD， 又∠DKG=∠CKE， ∴△KGD∽△KGE. ②连接OG，如图所示.∵ 设
，∴
，AK= ，
， ，则
KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5k，∴HK=CK－CH=k. 在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2 ， 即
，
，
，
，则
，
设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC=R，OH=R－3k，CH=4k， 由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2 ， 在Rt△OGF中， ∴
，∴
，∴
，
【解析】【分析】（1）连接OG.根据切线的判定，证出∠KGE+∠OGA=90°，故EF是⊙O的切线.（2）①证∠E=∠AGD，又∠DKG=∠CKE，故△KGD∽△KGE.②连接OG. 设
，
，
，则
，
，在Rt△AHK中，根据勾股定
理得AH2+HK2=AK2 ， 即
；在Rt△OGF中，
；由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2 ，
，
，
8．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8
（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K
中考数学备考之相似压轴突破训练∶培优易错试卷篇及答案(1)
