AE，则∠EAF=90°．根据余弦函数的定义，由的值，故0≤t
，结论列出方程，求解得出t
时，⊙O与线段AC只有一个交点；②如图4中，当⊙O与AC相切时，
；③如图5中，当⊙O与AB相切时，根据余弦函数的定义，由
满足条件，此时t=cosB=
，列出方程，求解得出t的值；④如图6中，⊙O经过点A时，连接AE，则
，列出方程求出t的值，故＜t≤4时，⊙O与线段AC只有一
∠EAF=90°．由cosB=
个交点；综上所述，得出答案。
3． （1）问题发现
如图1，四边形ABCD为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE，PF分别交BC，DC于点M，N，当PM⊥BC，PN⊥CD时， =________（用含a，b的代数式表示）． （2）拓展探究
在（1）中，固定点P，使△PEF绕点P旋转，如图2， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决
如图3，四边形ABCD为正方形，AB=BC=a，点P在对角线AC上，M，N分别在BC，CD上，PM⊥PN，当AP=nPC时，（n是正实数），直接写出四边形PMCN的面积是________（用含n，a的代数式表示） 【答案】（1）
（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，
则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90° ∵Rt△PEF中，∠FPE=90°
∴∠GPM=∠HPN ∴△PGM∽△PHN ∴
,
由PG∥AB，PH∥AD可得， ∵AB=a，BC=b ∴ ∴
，即 ，
,
故答案为
（3）∴AB⊥BC， ∵PM⊥BC，
【解析】【解答解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴△PMC∽△ABC ∴
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD=90°， ∵PM⊥BC，PN⊥CD， ∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD， ∴四边形CNPM是矩形， ∴CM=PN， ∴
，
故答案为 ；
（ 3 ）∵PM⊥BC，AB⊥BC ∴△PMC∽△ABC ∴
当AP=nPC时（n是正实数）， ∴PM=
a
∴四边形PMCN的面积=
．
，
故答案为：
【分析】（1）由题意易得△PMC∽△ABC，可得比例式CM=PN，则结论可得证；
，由矩形的性质可得
（2）过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，由辅助线和已知条件易得△PGM∽△PHN，则得比例式
，由（1）可得比例式
，即比值不变；
（3）由（2）的方法可得，则四边形PMCN的面积=
.
4．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC.延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E.
（1）求证：△ABE≌△CDE； （2）填空：
①当∠ABC的度数为________时，四边形AOCE是菱形； ②若AE＝6，BE=8，则EF的长为________.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，CD=CA，∴∠ABC=∠ACB，AB=CD． ∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ECD=∠BAE，∠CED=∠ABC． ∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE（AAS）
（2）60；
【解析】【解答】解：（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形； 理由是：连接AO、OC．
∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC+∠AEC=180°． ∵∠ABC=60，∴∠AEC=120°=∠AOC． ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°．
∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°． ∵∠ACB=∠CAD+∠D．
∵AC=CD，∴∠CAD=∠D=30°，∴∠ACE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠OAE=∠OCE=60°，∴四边形AOCE是平行四边形． ∵OA=OC，∴?AOCE是菱形；
②由（1）得：△ABE≌△CDE，∴BE=DE=8，AE=CE=6，∴∠D=∠EBC． ∵∠CED=∠ABC=∠ACB，∴△ECD∽△CFB，∴
= ．
= ，∴EF=
=
∵∠AFE=∠BFC，∠AEB=∠FCB，∴△AEF∽△BCF，∴ ．
故答案为：①60°；② ．
【分析】（1）由题意易证∠ABC=∠ACB，AB=CD；再由四点共圆和已证可得∠ABC=∠ACB=∠AEB，∠CED=∠AEB，则利用AAS可证得结论；
（2）①连接AO、CO.宪政△ABC是等边三角形，再证明四边形AOCE是平行四边形，又AO=CO可得结论；
②先证△ECD∽△CFB，可得EC：ED=CF：BC=6:8；再证△AEF∽△BCF，则AE：EF=BC：CF，从而求出EF.
5．定义：如图 ，若点D在 条件的点为
的“理想点”
的边AB上，且满足
，则称满足这样
（1）如图 ，若点D是
的边AB的中点，
，
，试判断点D是
不是
的“理想点”，并说明理由；
中，
， ，
，
，若点D是
的
（2）如图 ，在 “理想点”，求CD的长；
（3）如图，已知平面直角坐标系中，点 且满足
，C为x轴正半轴上一点，
，在y轴上是否存在一点D，使点A，B，C，D中的某一点是其余三
的“理想点”.
点围成的三角形的“理想点” 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）解：结论：点D是 理由：如图 中，
是AB中点，
，
， ， ， ， ∽
，
点D是
的“理想点”， ，
，
，
（2）解：如图 中，
点D是
或
当
时，
， ， 的“理想点”，
，
中考数学备考之相似压轴突破训练∶培优易错试卷篇及答案(1)
