一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I．
（1）求证：AF⊥BE； （2）求证：AD=3DI．
【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD=BD=CD，∠ACB=45°， ∵在△ADC中，AD=DC，DE⊥AC， ∴AE=CE，
∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF， ∴△CDE≌△CDF，
∴CF=CE，∠DCF=∠ACB=45°， ∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°，
，
在△ABE与△ACF中， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴∠ABE=∠FAC， ∵∠BAG+∠CAF=90°， ∴∠BAG+∠ABE=90°， ∴∠AGB=90°， ∴AF⊥BE
（2）证明：作IC的中点M，连接EM，由（1）∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°
∴四边形DECF是正方形， ∴EC∥DF，EC=DF， ∴∠EAH=∠HFD，AE=DF，
在△AEH与△FDH中 ∴△AEH≌△FDH（AAS）， ∴EH=DH，
∵∠BAG+∠CAF=90°， ∴∠BAG+∠ABE=90°， ∴∠AGB=90°， ∴AF⊥BE，
∵M是IC的中点，E是AC的中点， ∴EM∥AI， ∴ ∴DI=IM，
∴CD=DI+IM+MC=3DI， ∴AD=3DI
，
，
【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和SAS证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC，再证明∠AGB=90°，可证得结论。
（2）作IC的中点M，结合正方形的性质，可证得∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS证明△AEH与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。
2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E、F分别从B、C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）．
（1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似；
（2）是否存在某一时刻，使得△EFD被 AD分得的两部分面积之比为3:5，若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；
（3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围． 【答案】（1）解：如图1中，
点F在AC上，点E在BD上时，①当 ∴ ∴t= ， ②当 ∴t=2，
当点F在AB上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似， 综上所述，t= s或2s时，△EFC和△ACD相似． （2）解：不存在．
理由：如图2中，当点F在AC上，点E在BD上时，作FH⊥BC于H，EF交AD于N．
时，即
= ，
= ，
时，△CFE∽△CDA，
∵CF=5t．BE=4t，
∴CH=CF?cosC=4t， ∴BE=CH， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=DC， ∴DE=DH， ∵DN∥FH， ∴
=1，
∴EN=FN， ∴S△END=S△FND ，
∴△EFD被 AD分得的两部分面积相等，
同法可证当点F在AB上，点E在CD上时，△EFD被 AD分得的两部分面积相等， ∴不存在某一时刻，使得△EFD被 AD分得的两部分面积之比为3：5．
（3）解：①如图3中，当以EF为直径的⊙O经过点A时，⊙O与线段AC有两个交点，连接AE，则∠EAF=90°．
由 =cosC= ，可得 ∴t= ，
∴0≤t＜ 时，⊙O与线段AC只有一个交点．
②如图4中，当⊙O与AC相切时，满足条件，此时t= ．
= ，
③如图5中，当⊙O与AB相切时，cosB= ，即 = ，解得t=
．
④如图6中，⊙O经过点A时，连接AE，则∠EAF=90°．
由cosB= = ，即 = ，t= ，
∴ ＜t≤4时，⊙O与线段AC只有一个交点．
综上所述，当⊙O与线段AC只有一个交点时，0≤t＜ 或 或
或
＜t≤4
【解析】【分析】（1）分类讨论：根据路程等于速度乘以时间，分别表示出BE,,CE,CF的长，①当
时，△CFE∽△CDA，②当
时△CEF∽△CDA，根据比例式，分别
列出方程，求解t的值；当点F在AB上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似，综上所述，即可得出答案；
（2）不存在．理由：如图2中，当点F在AC上，点E在BD上时，作FH⊥BC于H，EF交AD于N．由题意知CF=5t．BE=4t，根据余弦函数的定义由CH=CF?cosC，表示出CH的长，从而得出BE=CH，根据等腰三角形的三线合一得出BD=DC，根据等量减等量差相等得出DE=DH，根据平行线分线段成比例定理得出
=1得出EN=FN，根据三角形中线的性
质得出S△END=S△FND ， △EFD被 AD分得的两部分面积相等，同法可证当点F在AB上，点E在CD上时，△EFD被 AD分得的两部分面积相等，故不存在某一时刻，使得△EFD被 AD分得的两部分面积之比为3：5；
（3）①如图3中，当以EF为直径的⊙O经过点A时，⊙O与线段AC有两个交点，连接
中考数学备考之相似压轴突破训练∶培优易错试卷篇及答案(1)
