中考数学人教版专题复习：二次函数的表达
一、教学内容
1. 用三种方式表示二次函数； 2 确定二次函数的表达式
二、重点、难点
会运用待定系数法，根据不同的条件确定二次函数的解析式。
三、知识要点
（一）用三种方式表示变量之间的二次函数关系：
函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；函数的图象表示可 以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表 示出变量之间的关系. 这三种表示方式各有各的优点，它们服务于不同的需要.
它们的联系是三种方式可以互化，由表达式可转化为表格和图象表示，每一种方式都可 转化为另两种方式表示
（二）二次函数的解析式有三种形式：
2 y ax 1. 一般式：
2 y a(x h) 2. 顶点式：
bx c （a，b，c 是常数，a≠0）
k （a，h，k 是常数，a≠0）
3. 双根式： y a(x x )(x x ) （a ， x ， x 是常数，a≠0）
1 2
1
2
例如：根据下列条件求二次函数的解析式：
（1）二次函数的图象经过点 A（－1，－6），B （1，－2），C（2，3）
（2）已知抛物线顶点为（－1，－3）且与 y 轴交点为（0，－5）
1
（3）已知抛物线与 x 轴交于点 A（－1，0），B（1，0）且经过点 M（0，1）
解：（1）设二次函数的解析式为 y＝ax2 ＋bx＋c（a≠0）
将（－1，－6），（1，－2），（2，3）分别代入得：
ab c
6 a 1
ab 解得：
b 2
4a c 2 2b c 3
c 5
二次函数的解析式为 y x 2 2x 5
（2）∵抛物线顶点为（－1，－3）
设其解析式为 y a(x 1) 2 3
将点（0，5）代入上式得：5 a(0 1) 2 3
a
所求的抛物线解析式为 y 2(x 1) 2 3
2
即y 2x 2 4x 5
（3）∵点 A（－1，0），B（1，0）是抛物线与 x 轴的交点 ∴设抛物线的解析式为 y＝a（x＋1）（x－1）
将 M（0，1）代入上式得：1＝a（0＋1）（0－1）
∴a＝－1
∴抛物线的解析式为 y＝－（x＋1）（x－1）
即 y＝－x2＋1
【典型例题】
3
例 1. 已知抛物线和 y 轴的交点是（0， 2），和 x 轴的一个交点是（
是 x=1，求图象是这条抛物线的二次函数的解析式。
解法一：设二次函数的解析式为
y ax 2 bx c
－1，0），对称轴
2
b
1 2a
1 a
据题意，得
c3 解这个方程组，得
2
ab c 0
∴所求二次函数的解析式为 y 1 x 2
x 3 。
2
2
解法二：设解析式为
y a(x h) 2 k
据题意，有 a(0 1) 2 k 3
2 a( 11) 2
k 0
3
整理，得 ak 2
4a k 0
解这个二元一次方程组，得a
1
2 k 2
于是，解析式为
y 1 2(x 1) 2 2
也就是
2
y 1 2
x
x 3
2
y a(x x )(x x )
x
解法三：设抛物线的解析式为
，其中
1
2
1
得另一个交点为（3，0） ，也就是 x
2
3 ，于是解析式为
y a(x 1)(x 3)
3又，由点（0， 2）在抛物线上，则有
3
2 a(0 1)(0 3)
3a 3
2
2
b1
c3
2
1
，又由它的对称轴为 x=1，可
3
1 a 2
于是，由 y 1 (x 1)(x 3) 整理可得
2
1 2 y x 2
3 x
2
例 2. 已知一条抛物线的顶点是（－3，2），它的对称轴和 y 轴平行，而且和 x 轴的一 个交点是（－1，0），求图象是这条抛物线的二次函数的解析式。
解：设这个二次函数的解析式为 y ax
据题意有：
2
bx c
b 3 2a
4ac b 2 2
4a
ab c 0
a
解这个方程组，得
1 2 35 2
b c
∴所求二次函数的解析式是 y
1 5 x 2 3x 2 2
例 3 . 已知抛物线的顶点坐标是（－1，9），与 x 轴两交点间的距离是 6，求图象是此抛
物线的二次函数的解析式。
解：设解析式为 y a(x 1) 2 9
有： y ax 2 2ax a 9
设抛物线与 x 轴的交点为（ x ，0），（x ，0）
1
2
则 x
1
x
2
2，x
1
x
a 9 2 a
| x
1
x |6
2
(x
1
x )
2
2
4x x
1 2
36
4
4(a 9)
36 4 a
a 1
解析式为
x
y 2
2x 8
2 2
例 4. 已知：二次函数 y x
2(m 1)x m
2m 3 ，其中 m 是实数。
（1）求证：不论 m 取何实数，这个二次函数的图象与 x 轴必有两个交点。
1
2
（2）设这个二次函数的图象与 x 轴交于点 A（ x ，0），B（ x ，0）且 x 、 x 的倒数之 2
1
2
和为 ，求这个二次函数的解析式。
3
（1）证明：
4(m
4m 2
1) 2 4(m 2
2m 3)
8m 12
8m 4 4m 2
16 0
∴方程
2 x
2(m 1)x m 2
2m 3 0 必有两个不等实数根。
∴不论 m 取何值，这个二次函数的图象与 x 轴必有两个交点。
（2）解：由题意，可知 x 、 x 是方程
1
2
2 x
2(m 1)x 2m 3
m 2
2m 3 0 的两个实数根，
x
1
x
2
2(m 1)，x
1
x
2
m 2
1 1 2 x x 3 1 2 x x 2
2 1
x x 3 1 2 2 2(m 1) 2 m 2m 3 3
解得 m=0 或 m=5
经检验，m=0，m=5 都是方程的解。
∴所求二次函数的解析式为 y
x 2
或
2x 3
y x 2
8x 12 。
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