以下证明:对于弹性体的稳定平衡状态，总势能将取最小值。将几何可能位移对应的应变代入总势能表达式，的总势能
可以得到几何可能位移对应
将上式减去真实应变分量的总势能，可得
将按泰勒级数展开，并略去二阶以上的小量，有
回代可得
由于总势能的一阶变分为零，因此
3、最小势能原理
总势能的二阶变分为
由于
由于应变能密度函数为正定函数，即只有在所有的应变分量全部为零时其才可能为零，否则总是大于零的,因此
所以
11
以上证明了在所有的可能位移场中，真实位移场的总势能取最小值。所以这一原理称为最小势能原理。数学描述即总势能的一阶变分为零，而且二阶变分是正定的（大于零）。
必须强调指出的是，真实位移与其他的可能位移之间的差别在于是否满足静力平衡条件，所以说最小势能原理是用变分形式表达的平衡条件。
通过总势能的一阶变分为零，可以推导出平衡微分方程和面力边界条件，这和虚功原理是相同的，即最小势能原理也等价于平衡微分方程和面力边界条件。
虚功原理和最小势能原理之间的差别在于：虚功原理不涉及本构关系，适用于任何材料，只要满足小变形条件；最小势能原理除了小变形条件之外，满足应变能密度函数表达的本构关系，因此仅限于线性和非线性弹性体。
最后，将最小势能原理完整的叙述为：在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值。该方法是以位移函数作为基本未知量求解弹性力学问题的。当然，选择的位移函数必须是在位移已知的边界上满足位移边界条件，边界是不需要考虑的，因为面力边界条件是会自动满足的。4、最小势能原理推导弯曲问题的平衡微分方程和面力边界条件
对于面力还需要
例2：图示直梁，分布载荷q(x)作用在轴线所在的铅垂平面内。用最小势能
原理推导问题的平衡微分方程和面力边界条件。
解: 该梁为超静定结构。在梁的端面，施加适当的约束使梁不能产生刚体位移，施加适当的剪力和弯矩，使梁保持平衡。
设w(x)表示梁的挠度，
表示梁轴线变形后的曲率半径，则梁的应变能为
由于，并且注意到对于小变形问题，所以上式可以写作
12
本问题的面力边界为梁的上下表面，作用分布载荷q(x)，则外力功为
梁的总势能为
对上式作一阶变分并且令其为零，有
整理可得
因此
上述关系式的第1式即问题的平衡方程，第界条件。
2，3和4式为梁边界条件。
以上根据最小势能原理推导出梁的弯曲问题对应的平衡微分方程和面力边
5、最小势能原理推导扭转问题的平衡微分方程和面力边界条件。
例3：应用最小势能原理推导柱体扭转问题的基本方程和边界条件。
13
解：对于柱体扭转的位移解法，位移分量用扭转翘曲函数表示为
与上述位移分量对应的应力分量为
由于其他的应力分量全部为零，所以柱体的应变能为
令
则
由于柱体的侧表面不受外力的作用，不存在外力功的问题。在端面上，作用有扭矩T，产生扭矩的是x和y方向的面力Fsx和Fsy,而z方向的面力Fsz为零。根据柱体扭转的位移表达式，本问题的虚位移为
u=0,
v=0, w=
因此，柱体所有表面的外力虚功均为零。根据最小势能原理
所以即
14
利用高斯积分公式,上式简化为
由于是任意的，所以上式成立的条件为
显然，这和第九章中导出的扭转函数所要满足的平衡微分方程和面力边界条件是相同的。
§11.5 最小势能原理的应用
学习要点:
最小势能原理是弹性力学问题近似解法的基础。这一原理要应用于实际问题，必须有对应的求解方法。
首先建立以级数形式表达的位移试函数，表达式。注意到总势能
选择的位移试函数必须满足位移边
Et的
Am,Bm和Cm的二
界条件，它是几何可能的。根据位移试函数可以确定应变分量以及总势能
Et原为位移的泛函，写作成为待定系数
-里茨法。
次函数。这样就把求解泛函的驻值问题，转化成为求解函数的极值问题。
根据上述原则推导的近似解法称为瑞利求解公式将进一步简化。称为伽辽金法
最后举例说明瑞利-里茨法和伽辽金法的应用。学习思路：
1、位移试函数；2、瑞利-里茨法；3、伽辽金法；4、简支梁弯曲问题；5、矩形板；6、扭转问题。1、位移试函数
如果选择的位移试函数不仅满足位移边界条件，而且满足面力边界条件，则
最小势能原理的主要用途并非推导平衡微分方程和面力边界条件，力学问题近似解法的基础。如果要使得某个原理要应用于实际问题，
15
它是弹性必须有对应
(完整版)弹性力学第十一章弹性力学的变分原理
