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第1讲 运动的描述
本讲导学
物理学是用数学描述自然现象的学科。所以的描述中，运动是最基本最常见的。运动的描述，本质还是物体的描述与空间的描述，本讲系统讲述对描述的数学语言。
知识模块
知识点睛
一．坐标系
1.定坐标系：建立在固定参考物上的坐标系，简称定系。一般将定系固结在地面上。
2.动坐标系：建立在相对于定系运动着的物体上的坐标系，简称动系。动系有平动系与转动系之分，注意区分。注意质点不能成为一个参考系。 二．动点
动点是指相对于定系和动系均有运动的点，如图车轮上的一点P作为动点。
三．三种运动及三种速度与三种加速度 1.运动定义：
绝对运动：动点相对于定系的运动,如P相对于地面的运动。 相对运动：动点相对动系的运动,如P相对于车厢的运动。
牵连运动：动系相对于定系的运动,如行驶的汽车相对于地面的运动。 2.关联关系：
1）动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。记为：
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如图：
va?ve?vr
2）加速度关联比较复杂：
A：如果牵连运动为平动：动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度与相对加速度的矢量和。记为：
aa?ae?ar
B：如果牵连运动为转：动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度与相对加速度以及科氏加速度的矢量和。记为：
aa?ae?ar?ak
其中科氏加速度
ak?2?e?vr , ak?2?evrsin(?e,vr)如图：
以上只是物理定义，具体到不同的坐标系中，方程的数学表达会有所不同。我们在以前的课程中介绍过直角坐标系，极坐标系，自然坐标系。这里再引入另一个坐标系。 附录 1.球坐标
在空间任取一点O作为极点,从O引两条互相垂直的射线ox和oz作为极轴,再规定一个长度单位和射线ox绕oz轴旋转所成角的正方向, 这样就建立了一个球坐标系.
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讲述高端的，真正的物理学
高二·物理竞赛春季班·第1讲·学生版
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球坐标是一种三维坐标。分别有原点、方位角、仰角、距离构成。设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段与z轴正向所夹的角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段在坐标平面xoy的投影所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为
r∈[0,+∞), φ∈[0, 2π], θ∈[0, π] . 2.立体角
定义:一个任意形状椎面所包含的空间称为立体角。符号：Ω 单位：Sr （球面度） 如图所示，△A是半径为R的球面的一部分，△A的边缘各点对球心O连线所包围的那部分空间叫立体角。立体角的数值为部分球面面积△A与球半径平方之比，即
????AR2
单位立体角：以O为球心、R为半径作球，若立体角Ω截出的球面部分的面积为R，则此球面部分所对应的立体角称为一个单位立体角，或一球面度。
对于一个给定顶点O 和一个随意方向的微小面积dS ，它们对应的立体角为
2
d??dScos?R2
其中θ为dS 与投影面积 dA的夹角，R为O 到dS中心的距离。
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例题精讲
第一部分：数学描述能力训练 【例1】（1）某人不喜欢吃苹果皮，但是更懒得削苹果皮。假设苹果是球形的，他将苹果切成等厚度的薄片，求证他在每片苹果上吃到的苹果皮的量是一样多的
（2）某个国家的范围是北纬30度到北纬31度，经度范围是东经65度到66度，这个国家的领土占地球的比例大约为多少？近似计算,精确到2位有效数字。)
【例2】一位盲人将枪端平，开始打靶。由于看不见，他将随机向平面中任意一个方向打出子弹。一面墙在离他的距离为d。从人到墙做垂线，将垂足记为原点，计算从x到x+dx的范围内墙面被子弹击中的概率。
【例3】上一题中的盲人跑到了太空站中，向随机的方向打出子弹，墙和他的间距为d，原点保持
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不变，建立平面直角坐标系x-y，从x到x+dx，y到y+dy的范围内，墙面被子弹击中的概率为多少？
?,??。 【例4】建立极坐标，在(?,?)上定义发向与切向的单位向量n?,??，?,?表达。 （1） 写出从极点到(?,?)点的位移矢量，用n?,??和?,?一样都是时间的函数。求出（2） 假设一个质点以角速度?做匀速原周运动，那么n?d??dn,。 dtdt?,??和?(t),?(t)（及其导数）表达质点的运动速度 （3） 用n?,??和?(t),?(t)（及其导数）表达质点运动的加速度 （4） 用n（5） 用以上的方法写出极坐标下的牛顿第二定律的表达形式
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