全相位-混合基 FFT 在相量测量装置中的实现
邵 璞1，赵庆生1，郭贺宏2，张学军3
【摘 要】摘要：传统的傅里叶变换在测量非整周期的数据时会出现频谱泄露的现象，而快速傅里叶变换(FFT)只能对长度为2 的整次幂(基-2)的数据进行处理，无法对非基-2 的其他数据计算。为了解决以上问题，提出了一种全相位-混合基 FFT 算法。并详细介绍了全相位 FFT、混合基 FFT 的原理以及全相位-混合基 FFT 在 DSP 中的实现过程。通过测试表明全相位-混合基 FFT 在电压、频率的测量精度较传统 FFT 有一定优势。将该算法应用到以 DSP 为核心的相量测量装置当中，对电网的状态进行实时监测，实测结果证明该算法准确可靠，在电力系统运行当中有一定实用价值。 【期刊名称】电力系统保护与控制 【年(卷),期】2016(044)020 【总页数】5
【关键词】全相位 FFT；混合基 FFT；DSP；全相位-混合基 FFT；相量测量
0 引言
电网运行处于一个不断变化的状态，持续维持在动态的平衡，因此对其状态的精确监控十分重要。在电网的实际运行当中，快速傅里叶算法(FFT)在相量测量中占有十分重要的地位。但传统的 FFT 计算在采样时只考虑了一种频率截断情况，因此在处理非整周期信号时会出现频谱泄漏现象[1-2]导致测量的精度降低。而且快速傅里叶变换只能针对长度为2 的整次幂的数据进行处理[3-4]，对于不满足基-2 长度的采样数据则无法通过FFT快速分析得到数据的相位和幅值信息，不能满足电力系统实际运行当中对复合数处理的要求，例如 IEC61850 中规定
的 80点/周波采样要求。
为了解决频谱泄露现象，文献[5]将全相位 FFT算法应用到 FPGA 中，设计了高精度时移相位差测频系统，使频谱分析的频率分辨率达到了 0.2%的级别。文献[6]则基于全相位 FFT 的初相不变性在FPGA 平台上实现了一种高精度的频率测量方案，该方案测量结果不易受采样点数变化影响，且不需要增加频谱校准算法即可得到准确的相位信息。但是全相位FFT算法没有解决不能处理非基-2的整次幂的复合数这个问题。
对于数据项为非 2 的整次幂数据，文献[7]通过线性拉格朗日插值方法对信号再次抽取，抽取后得到数据即可进行传统的 FFT 分析。文献[8]提出一种不需要上述插值的测量方案，通过对数据的稀释采样，用修正均方根算法即可计算出数据的结果。两种方案解决了针对长度为非基-2的复合数的快速计算问题，但是在处理非整周期的采样数据时仍然存在频谱泄露的情况。
针对以上问题，本文提出了全相位-混合基 FFT算法，该算法结合全相位FFT和混合基FFT的优点，可以对点数为2和5的整次幂的复合数进行快速计算，同时在加入一定的数据预处理之后可以很好地抑制频谱泄露现象，提高算法的测量精度。结合数字信号处理器(DSP)强大的数据处理能力和方便的FFT 库函数，将其应用到以 DSP 为核心的相量测量装置中，可以提高测量精度，扩展测量范围。
1 算法介绍
全相位混合基FFT算法的基本原理是先用全相位 FFT 的方法对数据进行预处理，使其减少频谱泄露，同时提高相位测量精度，之后调用混合基 FFT进行计算得到最终的结果。下面将分别介绍全相位FFT 和混合基 FFT 的计算原理。
1.1 全相位 FFT
全相位FFT考虑了包含采样点的N种循环移位相加的情况。对于时间序列中的一点 (0)x ，存在且只存在N列包含该点的N维列向量：
其中，为位移算子，其作用是将每个变量依次进行循环位移，可得到移位之后的以 x( 0)为首位的N 个 N 维列向量：
将以上N个向量相加之后求取平均值，则可得到经过数据预处理的全相位数据向量：
由傅里叶变换特性可知，经过预处理后的数据作FFT计算结果和分别将每组数据作FFT计算得到的结果相同。虽然全相位 FFT 包含 N 种 FFT 计算的情况，但是在实际计算过程中，经过数据处理之后只需要进行1次计算即可完成，大大节省了计算量，缩短了计算时间。根据 FFT 的移位性质，式(2)的经 过 FFT 计 算 得 到 的 和 式(1)的经过FFT计算得到的 之间存在如下关系：
对式(4)的用卷积窗加权求和之后求平均值得到的结果即为全相位 FFT 的计算结果：
因此对于单频复指数信号：
其中，表示为b倍频率间隔2π/N 的形式，代入式(6)经化简得频谱： 而直接通过 FFT 变换得到的频谱为
对比式(7)和式(8)，式(7)中的平方关系对所有谱线都成立，因此旁谱线衰减得更明显，从而使主谱线突出，达到抑制频谱泄露的效果。由式(7)得知计算得到的初相为，不受频率偏移量影响，具有相位不变性，如图1所示。
图1 显示了在进行非整数倍频率采样时，全相位 FFT 可以更出色地抑制频谱泄露，使旁谱线的数量和幅值都大幅减少。在进行相位测量时，传统的FFT 需要
全相位-混合基FFT在相量测量装置中的实现
