难点7 奇偶性与单调性(一)
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.
●难点磁场
exa(★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，?aex+∞)上是增函数.
●案例探究
［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(
1)=－1,当且仅当0 命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目. 知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想. 错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点. 证明：(1)由f(x)+f(y)=f( x2?x11?x1x2x?y),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－1?xyx)=f( x?x)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数. 1?x2(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0 x2?x1) 1?x1x2∵0 x2?x1>0, 1?x2x1又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0 ∴x2－x1<1－x2x1, ∴0< x2?x1x?x1<1,由题意知f(2)<0， 1?x2x11?x1x2即f(x2) ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上为减函数. ［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增， 用心 爱心 专心 - 1 - 12f(2a2+a+1) 2间. 命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目. 知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题. 错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱. 技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法. 解：设0 1712又2a2?a?1?2(a?)2??0,3a2?2a?1?3(a?)2??0. 48332222 由f(2a+a+1) 3252 又a－3a+1=(a－)－. 24123∴函数y=()a?3a?1的单调减区间是［，+∞］ 22323结合0 22●锦囊妙计 本难点所涉及的问题及解决方法主要有： (1)判断函数的奇偶性与单调性 若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性. 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性. 同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一. 复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数. (2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( ) x?1A.f(x)=(x－1) 1?x lg(1?x2)B.f(x)=2 |x?2|?2D.f(x)= 2??x?x(x?0)C.f(x)=? 2???x?x(x?0) 1?sinx?cosx 1?cosx?sinx2.(★★★★★)函数f(x)=A.关于x轴对称 1?x2?x?11?x?x?1 2的图象( ) B.关于y轴对称 - 1 - 用心 爱心 专心 C.关于原点对称 D.关于直线x=1对称 二、填空题 3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________. 32 4.(★★★★★)若函数f(x)=ax+bx+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0 三、解答题 x?2 (a>1). x?1(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根. 5.(★★★★)已知函数f(x)=a+ xx36.(★★★★★)求证函数f(x)=2在区间(1，+∞)上是减函数. (x?1)27. （中山市高三级2011—2012学年度第一学期期末统一考试）(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)= f(x1)?f(x2)?1； f(x2)?f(x1)(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证： (1)f(x)是奇函数. (2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a. 8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且 11f(－)=0,当x>－时，f(x)>0. 22(1)求证：f(x)是单调递增函数； (2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. 参考答案 难点磁场 exa11x?x?x+ae.整理，得(a－) (1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即 aeaae(e－ x112 )=0.因此，有a－=0,即a=1,又a>0,∴a=1 aex111x2x1??(e?e)(?1) x1x2x1?x2eee(2)证法一：设0＜x1＜x2,则f(x1)－f(x2)=ex1?ex2??e(ex1x2?x11?ex1?x2?1)x?x e12由x1>0,x2>0,x2>x1,∴ex2?x1?1>0,1－ex1?x2＜0, ∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数 用心 爱心 专心 - 1 -
2012年高考数学二轮难点透析 7 奇偶性与单调性一
