2012年省第十一届高等数学竞赛试题（专科）
一．填空（4分*8=32分） 1.lim4?3x?41?6x?5x?4? 13?23???n3? 2. limn??n43. lim?x0tsin3tdt23x?0xsinx?
(n)4.y?ln(1?x)，则y?
5.x2arctanxdx?
?1xarccosdx? ?1xx?1y?3z7.点(2,1,?3)到直线??的距离为
1?226.
2nk8.级数?(?1)为条件收敛，则常数k的取值围是
n?1n?2?n二．（6分*2=12分）
331) （1）求limn(2??2n??ni?1(n?i)3
（2）设f(x)在x?0处可导，且f(0)?1,f?(0)?2,求limx?0f(cosx?1)?1 2x
三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。（4分+6分=10分） （1）函数f(x)在(??,?)上有定义（??0），当???x?0时，f(x)严格增加，当
0?x??时，f(x)严格减少，limf(x)存在，且f(0)是f(x)的极小值。
x?0
（2）函数f(x)在(??,?)上一阶可导（??0），f(0)为极值，且(0,f(0))为曲线y?f(x)的拐点。
四．（10分）
求一个次数最低的多项式p(x)，使得它在x?1时取得极大值13，在x?4时取得极小值－14。 五．（12分）
过点(0,0)作曲线?:y?e?x的切线L，设D是以曲线?、切线L及x轴为边界的无界区域。
（1）求切线L的方程。 （2）求区域D的面积。
（3）求区域D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积。 六．（12分）
点A(1,2,?1),B(5,?2,3)在平面?:2x?y?2z?3的两侧，过点A,B作球面?使其在平面?上截得的圆?最小。
（1）求直线AB与平面?的交点M的坐标。
（2）若点M是圆?的圆心，求球面?的球心坐标与该球面的方程。 （3）证明：点M确是圆?的圆心。 七．（12分）
n(n?1)?(?1)n求级数?的和。 n2nn?1?
2010年省《高等数学》竞赛试题（专科）
一 填空题（每题4分，共32分） 1.limsinx?sin(sinx)? x?0sinx2.y?arctanx2?extanx，y/? 3.设由xy?yx确定y?y?x?，则
dy? dx4.y?cos2x，y(n)(x)? 5.?6.?11?xxedx? x2xarctanx2dx?
1?x402x?2y?z?2?0??7.圆?2的面积为 22??x?y?z?4x?2y?2z?191?(?1)nn!8. 级数?的和为 n2n!n?1?二.（10分）设a为正常数，使得x2?eax对一切正数x成立，求常数a的最小值三.（10分）设f?x?在?0,1?上连续，且?f(x)dx??xf(x)dx，求证：存在点
0011???0,1?，使得?f(x)dx?0.
0?四. （12分）求广义积分???21dx 41?x五．（12分）过原点?0,0?作曲线y??lnx的切线，求该切线、曲线y??lnx与x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.
六.（12分）已知正方体ABCD?A1B1C1D1的边长为2，E为D1C1的中点，F为侧面正方形BCC1B1的中点，（1）试求过点A1,E,F的平面与底面ABCD所成二面角的值。（2）试求过点A1,E,F的平面截正方体所得到的截面的面积. 七（12分）已知数列?an?单调增加，a1?1,a2?2,a3?5,L,an?1?3an?an?1
?1?n?2,3,L?,记xn?a，判别级数?xn的敛散性.
n?1n
2008年省高等数学竞赛题（专科）
一．填空题（每题5分，共40分）
1.a= ，b= 时，limxax+2xparctanx=-
bx-x22. lim?nnk=11= 。
k(k+2)3.设f(x)=x(x-1)(x-2)L(x-100)，则f￠(100)= 4. a= ，b= 时f(x)=ax+x2+小的阶数最高。 5.???x在x?0时关于x的无穷1+bxx21?1?x?22dx? 6.点?2,1,?1?关于平面x?y?2z?5的对称点的坐标为 7.通过点(1,1,-1)与直线x=t,y=2,z=2+t的平面方程为 8.幂级数?nxn的和函数为 ，收敛域为 。
n=1￥二．（8分）设数列{xn}为x1=1,xn+1=并求其极限
6+xn(n=1,2,L)，证明：数列{xn}收敛，
三．（8分）设f(x)在[a,b]上连续?a?0?，òf(x)dx=0，
ab求证存在???a,b?，使得òf(x)dx=xf(x)。
ax四．（8分）将xoy面上的曲线?x?b??y2?a2?0?a?b?绕直线x?3b旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积。
21t2sin(tx)dt 五．（8分）（8分）求lim5t?0+tò0六．（10分）在平面?:x?2y?z?20作直线?，使直线?过另一直线
?x?2y?2z?1与平面设?的交点，且?与L垂直，求直线?的参数方程。 L:??3x?y?4z?3
江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）
