y2d?(?2)2?y2?2d?'y4?y2?4 4y3?2yy42?y2?44' 令d?0,得:y?0或y??2
当y?0,d?2; 当y??2,d?3
?3?2
?(1,?2)到点A(2,0)的距离最短。
2224、解:设底半径为r,表面积为V,则:V??rL?r
V?2?rL?r??r'22212L?r22(?2r)?2?rL2?3?r3L?r22
令V?0,得:r?所以:当底半径为
'L2L2L3 ?6 ,此时,高h?L2?r2?333LL6,高为3时,圆柱体的体积最大。 335、解:设底半径为r,表面积为S,则:
V2VS?2?r2?2?r2??2?r2
r?r2VS'??2?4?r
r'令S?0 ,的:r?3VV4V3? ,此时,高h? 2???r2所以:当底半径为3V4V,高为3时,表面积最小。 2??26、解:用料最省即为长方体的表面积最小。设底面边长为x米,表面积为y米,则:
S?4x62.5250250'22'S?0 得x?5 ?x??xS???2x 则 令22xxx所以:当底面边长为5米时,长方体表面积最小,即用料最省。
四、证明题
1、证明:在区间?1,1?x?上对函数f(x)?lnx应用拉格朗日定理,有
ln(1?x)?ln1?1?x ,其中1???1?x ,故
1??1,于是由上式可得:
ln(1?x)?x 即:x?ln(1?x)
2、证明:在区间?0,x?上对函数f(x)?e应用拉格朗日定理,有
xex?e0?e?x ,其中0???x ,故e??1,于是由上式可得: ex?1?x ,即ex?x?1
第五章 不定积分 第六章 定积分及其应用 一、单项选择题 DDBBBD 二、填空题 1、
?f(x)dx 2、F(x)?G(x)?c 3、exdx 4、tanx?c
25、?9cos3x 6、3 7、?1 三、计算题
1、解:原式=?cosd()??sin2、解:原式=2e3、解:原式=4、解:原式=
?1x1x1?c x?xd(x)?2ex?c
1?lnxd(lnx)?ln(lnx)?c
111111xd(cos2x)??xcos2x?cos2xdx??xcos2x?cos2xd(2x)??xcos2x?sin2x?c???222424ee19172e5、解:原式=?(3?lnx)d(lnx)=?(3?lnx)d(3?lnx)=(3?lnx)1=8?=
11222?2x1111??2x1111?2x?2x?6、解:原式=??xd(e)=?xe0??edx=?2??edx
?0??202?202e111?2x11?2x111131=?2??ed(?2x)=?2?e== ??(?1)??04042e2e2e24e24e24?7、解:原式=
e1?21e1212?121ee212xlnx?x?dxlnd(x)e?xdxe?x===1?????1112x2224??2??e1
=
12121121e?(e?)=e? 24444e11?1?11e111elnxd()??dx??===?lnx??dx1???2?1?11xeexxxx??xee18、解:原式=?
=?112?(?1)=??1 eee四、证明题
1、证明:?f(x)为奇函数 ?f(?x)??f(x)
?a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx
?a00a对于积分
?0?af(x)dx,令x??t,则dx??dt
0aaa?0?af(x)dx=?f(?t)(?dt)=?f(?t)dt=??f(t)dt=??f(x)dx
a000因此:
?a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx=0
?a00a2、证明:参考课本P344 例5