∵ABPDC，∴?BAE??G， 又∵BE?CE，?AEB??GEC， ∴?AEB≌?GEC（AAS），∴AB?GC， ∵AE是?BAF的平分线，∴?BAG??FAG， ∵?BAG??G，∴?FAG??G，∴FA?FG， ∵CG?CF?FG，∴AB?AF?CF. 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
6．（2024·江苏初二期中）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．
【答案】（1）证明见解析；（2）75． 【解析】 （1）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACF， 在△ABE和△ACF中，
?AB?AC???B??ACF， ?BE?CF?∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°， ∴∠CAF=∠BAE=30°， ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠ACD， ∴∠ADC=
180??30?=75°， 2故答案为75． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键. 7．（2024·江苏中考真题）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE?AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得?CAF??BAE，连接EF，EF与AC交于点G (1)求证：EF?BC；
(2)若?ABC?65?，?ACB?28?，求?FGC的度数.
【答案】(1)证明见解析；(2)78°. 【解析】
(1)Q?CAF??BAE ??BAC??EAF QAE?AB，AC?AF ?△BAC≌△EAF?SAS? ?EF?BC
(2)QAB?AE，?ABC?65? ??BAE?180??65??2?50? ??FAG?50? Q△BAC≌△EAF ??F??C?28? ??FGC?50??28??78? 【点睛】
本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键
8．（2024·江苏中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点0；
求证：（1）?DBC??ECB （2）OB?OC
【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 (1)∵AB=AC， ∴∠ECB=∠DBC， 在?DBC与?ECB中
?BD?CE???DBC??ECB， ?BC?CB?∴ ?DBC??ECB； (2)由(1) ?DBC??ECB， ∴∠DCB=∠EBC，
∴OB=OC. 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
9．（2024·江苏中考真题）如图，?ABC中，∠C?90o，AC?4，BC?8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长． 【答案】（1）详见解析；（2）BD?5． 【解析】
（1）如图直线MN即为所求．
（2）∵MN垂直平分线段AB，∴DA?DB， 设DA?DB?x，在Rt?ACD中，
∵AD2?AC2?CD2，∴x2?42??8?x?， 解得x?5，∴BD?5． 【点睛】
本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（2024·湖北初二期中）（问题提出）
如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF
2
试证明：AB=DB+AF （类比探究）
（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．
【答案】证明见解析；（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD． 【解析】
（1）证明：DE=CE=CF，△BCE 由旋转60°得△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF=CE，
∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°， ∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°， ∵∠DBE=120°， ∴∠EAF=∠DBE，
又∵A，E，C，F四点共圆， ∴∠AEF=∠ACF， 又∵ED=DC，
∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF， ∴∠D=∠AEF， ∴△EDB≌FEA， ∴BD=AF，AB=AE+BF， ∴AB=BD+AF．
类比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，
2024届中考数学基础题提分讲练专题19 以三角形为背景的证明与计算(含解析)
