第三章 3.1 3.1.3
基础练习
1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为( ) A．4 C．8 【答案】C
2．设函数f(x)在x＝x0处的导数不存在，则曲线y＝f(x)( ) A．在点(x0，f(x0))处的切线不存在 B．在点(x0，f(x0))处的切线可能存在 C．在点x0处不连续 D．在x＝x0处极限不存在 【答案】B
3. 设f(x)存在导函数且满足Δlim x→0
线的斜率为( )
A．－1 C．1 【答案】A
4．曲线y＝x3－3x2＋1在点P(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝3x－4 C．y＝－4x－1 【答案】B
5．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则Δlim x→0
f?1＋Δx?－f?1?
＝________.
Δx
B．y＝－3x＋2 D．y＝4x－7 B．－2 D．2
f?1?－f?1－2Δx?
＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切
2Δx
B．16 D．2
【答案】－2 【解析】Δlim x→0
f?1＋Δx?－f?1?0－4
＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
Δx2－0
1
6．已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋3，则f(1)＋f′(1)＝________.
2
【答案】4
117
【解析】点M(1，f(1))在切线y＝x＋3上，则f(1)＝×1＋3＝，根据导数的几何意义可222171
知f′(1)＝，所以f(1)＋f′(1)＝＋＝4.
222
7．求曲线f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程．
解：由y＝x3＋2x－1，得Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2
＋(Δx)3.
∴
Δy
＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2. Δx
当Δx→0时，3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2→3x2＋2， 即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5. 故点P处的切线斜率为k＝5.
所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.
8．已知函数f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线的方程． 解：因为f(x)＝x3－3x，设切点为M(x0，y0)， ?x＋Δx?3－3?x＋Δx?－?x3－3x?
y′＝Δlim ＝3x2－3， x→0Δx
2－3. 所以k＝y′|x＝x0＝3x0
所以切线方程为y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．
2因为点M在曲线上，所以y0＝x3有16－(x30－3x0.又点A(0,16)在切线上，0－3x0)＝3(x0－1)(03＝－8，解得x＝－2. －x0)，化简得x00
所以切点为M(－2，－2)，切线方程为y＋2＝9(x＋2)，即9x－y＋16＝0.
能力提升
41
1，?处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) 9．曲线y＝x3＋x在点??3?31
A．
91
C．
3【答案】A
14?1＋Δx?3＋?1＋Δx?－33Δy
【解析】由导数的定义知y′＝Δlim ＝lim ＝2，即切线斜率为x→0ΔxΔx→0Δx421
2，所以切线方程为y－＝2(x－1)．当x＝0时，y＝－；当y＝0时，x＝.所以切线与坐标轴
3331211
围成的三角形的面积为××＝.故选A．
2339
10．已知函数f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
2
B．
92D．
3
A．f′(xA)＞f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) 【答案】B
【解析】由导数的几何意义知f′(xA)与f′(xB)分别表示的是曲线在xA，xB处的切线的斜率．由图可得kA＜kB，所以f′(xA)＜f′(xB)．故选B．
11．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则实数a＝________. 【答案】1
【解析】∵f′(1)＝Δlim x→0
f?1＋Δx?－f?1?
＝Δlim[a(Δx)2＋3aΔx＋3a＋1]＝3a＋1，即切线斜率→x0Δx
B．f′(xA)＜f′(xB) D．不能确定
a＋2－7
k＝3a＋1.∵f(1)＝a＋2，∴切点为(1，a＋2)．又切线过点(2,7)，∴＝3a＋1.解得a＝1.
1－2
15
12．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求a的值．
4152
解：设该切线在曲线y＝x3上的切点为(x1，x31)，在y＝ax＋x－9上的切点为(x2，y2)，4x31
则该切线的斜率为k＝.
x1－1
根据导数的几何意义，知
?x1＋Δx?3－x3Δy1
k＝Δlim ＝lim ＝3x21， x→0ΔxΔx→0Δxx3312，解得x＝或x＝0. 所以＝3x111
2x1－1
15
(1)当x1＝0时，k＝0，切线方程为y＝0，则y＝ax2＋x－9与x轴只有一个交点，即Δ
415?225＝?＋36a＝0，解得a＝－. ?4?64
32727
(2)x1＝时，k＝，切线方程为y＝(x－1)．
24415
ax2x－92＋42y227
又k＝＝＝.①
4x2－1x2－1根据导数的几何意义，知k＝Δlim x→0
Δy1527
＝2ax2＋＝.② Δx44
3
联立①②，解得x2＝－，a＝－1.
2
25
综上，a的值为－或－1.
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数学人教A版选修1-1课时规范训练：3.1.3导数的几何意义
