关于一道四边形几何题的变式探究
原题 如图1,四边形ABCD是直角梯形，ZB = 90° , AB = 8cm, AD=24cm. BC = 26cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s 的速度向点B运动，其屮一个动点到达端点时，另一个动点也随Z停止运动，从运动开始, 经过多少时间，四边形PQCD成为平行四边形？成为等腰梯形？
一、解法的研究
解法1如图1.?.?PD〃CQ,???当PD=CQ时,即24-t=3t且3tW26及tW24,四 边形PQCD成为平行四边形.即t=6吋，四边形PQCD成为平行四边形.
如图2,过点P作PF±BC于点F,过点D作DE丄CB于点E. ???PF=DE, ZPFQ=ZDEC=90° ,
???当QF=CE时，APFO与ADEC全等， ???当 QF=CE 时，PQ = DC. 又?.?PD〃CQ,???当QF=CE时， 四边形PQCD成为等腰梯形，
.*.1-(26-31) = 26-24且3tW26及tW24,四边形PQCD成为等腰梯形， 即t=7时，四边形PQCD成为等腰梯形.
图2
解法2 过点P作PF丄BC于点F,过点D作DE丄CB于点E? ???PF=DE, ZPFQ=ZDEC=90° , ???当QF=CE时 △PFQ 与ZXDEC 全等， ZPQF=ZDCE, PQ〃CD. 又?.?PD〃CQ,
???当QF=CE时，四边形PQCD成为平行四边形， 26 - - 3/ 二 26 - 24 貝 3/ W 26 及 t W 24,四边形PQCD成为平行四边形.
即\6时,四边形PQCD成为平行四边形. 如图1,连结PC、连结QD . v PD // CQ,:.当 PC = DQ 时, 四边形PQCD成为等腰梯形. 而 CP =' /丽 + CF? =
=/64 + (26 -i)2 ,
QD = YQE + DE = =/64 + ⑶-2)2,
22+ QE
2??.当/“ + (26 7尸=、/\⑶亠尸,
且3tW26及tW24时，四边形PQCD成为等腰梯形，即t=7时，四边形PQCD成为等腰 梯形.
解法3如图1,过点P作PF丄BC于点F,过点D作DE丄CB于点E,则
CD = + CE2 = J皿 + CF
,
12=A/64 + 4 =
PQ = JQW + PF? = ^QF + AB
=/J- (26 - 3t)『 +64.
??? PD // CQ,.?.当 CD = PQ 且 PD = CQ
且3tW26及tW24时，四边形PQCD成为平行四边形.
即t=6时，边形PQCD成为平行四边形. ???PD〃CQ,
???当CD=PQ且PDHCQ且3tW26及tW24时，四边形PQCD成为平行四边形.
即t=7时，四边形PQCD成为等腰梯形.
解法4以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，以1厘米为长度单 位建立直角坐标系.则D(24, 8)C(26, 0),过点C和点D的直线所对应的一次两数的解析 式为y= —4x+104；过t秒后Q(26-3t, 0), P(t, 8),过P和Q的直线所对应的一次函数 为
8 & 。
y = --------- x ----------- + 8 . '4—26 At-26 TPD〃CQ,
Q
???当 - =-4,且 3tW26 及 tW24 时，
4/-26 四边形PQCD成为平行四边形.
即t=6时，四边形PQCD成为平行四边形.
Q
???当石± = 且3tW26及tW24时，四边形PQCD成为等腰梯形. 即t=7时，四边形PQCD成为等腰梯形.
解法5如图1,过点P作PF丄BC于点F,过点D作DE丄CB于点E.
tan 乙 DCE 二 DE ： CE 二 8 ： 2 二 4,
tan 乙 PQF = PF ： QF =8： [(26 -3t) -z]?
??? PD // CQ,
???当tan乙DCE = tan乙PQF,且AP ＜ BQ 且3/ W 26及￡ W 24时,四边形PQCD成为平 行四边形.
即t = 6时,四边形PQCD成为平行四边 形.
如图2,过点P作PF丄BC于点F,过点D 作DE丄CB于点E ?'
tan Z. DCE = DE : CE 二 8 ： 2 = 4, tan乙PQF = PF： QF
=8： [t - (26 一 3t)].
v PD//CQt:.当 tan 乙 DCE = tan / PQF 且＞ %＞且3/ W26及t W 24时，四边形 PQCD成为平行四边形.
即t=7时，四边形PQCD成为等腰梯形.
评注以上五种解法有一个共同的特点：仔细观察图形，而后根据相关原理推导出关 于t的方程，而后求出t,其中都使用了“函数与方程的思想”.
二、变式的研究
变式1如图1,四边形ABCD是直角梯形，ZB=90° , AB = 8cm,, AD=24cm,, BC = 26cm.点P从点A出发，以lcm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以 3cm/s的速度向点B运动，其屮一个动点到达端点时，另一个动点也随Z停止运动，从运 动开始，经过多少时间，P、Q、C、D四点同在一个圆上.
变式2如图1,四边形ABCD是直角梯形，ZB = 90° , AB = 8cm, AD=20cm, BC = 26cm.点P从A出发，以lcm/s的速度向点D运动；点Q从点C同吋出发，以lcm/s 的速度向点B运动，其屮一个动点到达端点时，另一个动点也随Z停止运动，从运动开始, 是否存在某一时刻，使四边形PQCD成为菱形？若存在求出（的值，若不存在，请说明理 由.
变式3如图1,四边形ABCD是直角梯形，ZB = 90° , AB = 8cm,, AD=24cm, BC = 26cm.点P从点A出发，以lcm, /s的速度向点D运动；点Q从点G同时出发， 以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从 运动开始，是否存在某一时刻，使四边形PQCD的面积达到最大值，若存在求出t的值， 若不存在，请说明理由.
变式4如图1,四边形ABCD是直角梯形，ZB = 90° , AB = 8cm, AD = 24cm,, BC = 26cm.点P从点A出发，以lcm/s的速度向点D运动；点Q从点C同吋出发，以 xcm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运 动开始，是否存在某一 x的值，使得存在某一时刻，使四边形ABQP为正方形，若存在求 出x的值，若不存在，请说明理由.
评注 变式1与“…川边形PQCD成为等腰梯形”本质上是一样的，通过这样变式可 达到四边形与圆的知识交叉的目的.变式2、变式3、变式4,题目由普通解答题变为开放 性命题，而开放性命题是培养学生创新意识的载体.学生通过解答变式2可达到巩固菱形
知识的目的，变式3可达到四边形与一次函数的知识交叉的目的，学生解此类题目可达到 领会和学习“函数与方程思想”的目的，学生通过解答变式4可达到巩固正方形知识的目 的.
三、链接中考的研究
题1 如图3,在梯形ABCD中，AD〃BC, E是BC的中点，AD=5, BC=12, CD =4近,ZC=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x.
(1) 当x的值为 ______ 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形； (2) 当x的值为 ______ 吋，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
(3) 点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试 说明理市.
题 2 在梯形 ABCD 屮，AD〃BC, AD=8cm, BC=2cm, AB=CD=6cm.?动点 P、 Q同时从A点出发，点P沿线段AB->BC-*CD的方向运动，速度为2cm, /s；点Q沿线 段AD的方向运动，速度为Icm/s.当P、Q其中一点先到达终点D时，另一点也随之停 止运动，设运动吋间为t(s), AAPQ的面积为S(cm2).
(1) 当点P在线段AB±运动时(如图4(1)), S与t之间的函数关系式为. ____________ ,自 变量t的取值范围是 ______ ;
(2) 当点P在线段BC上运动时(如图4(2)),请直接写岀t的取值范围，并求S与t之间 的函数关系式；
(3) 试探究：点P在整个运动过程中，当t取何值时，S的值最大?
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