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高中数学思维方法训练系列课程
第2课 化生为熟 化难为易 善于转化 曲径通幽――化归与转化的思想方法
一、方法整合
1.化难为易、化生为熟、化繁为简；2.尽可能是等价转化，
3.常见转化：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等。
4.实现转化的常用方法：通过方程(组); 通过不等式; 通过函数;通过换元; 5通过升(降)维或幂; 通过辅助命题
5.高考点睛：高考中往往会以函数与方程、函数与不等式、形与数、空间与平面的转化为主要考查内容，在选择、填空及解答题中均会有所体现．
二.典例精析
例1. 求值：ctg10°－4cos10°
思维启动点：分析所求值的式子，应有两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。
解法一（注：和积互化公式已不要求）： ctg10°－4cos10°＝
cos10°cos10°?4sin10°cos10°－4cos10°＝
sin10°sin10°＝
sin80°?2sin20°sin80°?sin20°?sin20°＝
sin10°sin10°2cos50°sin30°?sin20°sin40°?sin20°＝
sin10°sin10°2cos30°sin10°＝3
sin10°转化过程回顾：切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积
＝
＝
解法二：ctg10°－4cos10°＝
cos10°cos10°?4sin10°cos10°－4cos10°＝
sin10°sin10°12·sin80°?2sin20°sin80°?2sin20°2＝＝
sin10°sin10°2cos60°sin80°?2sin20°sin140°?sin(?20°)?2sin20°＝＝
sin10°sin10°＝
sin140°?sin20°2cos80°sin60°＝＝3
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转化过程回顾：：切化弦→通分→化同名→特值代入→积化和→差化积
cos10°cos10°?4sin10°cos10°解法三：ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝
sin10°sin10°＝
sin80°?2sin20°sin(60??20?)?2sin20°＝
sin10°sin10°3113cos20??sin20??2sin20°3(cos20??sin20?)2222＝＝
sin10°sin10°＝
3cos(60??20?)＝3
sin10°转化过程回顾：：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式
反思提炼：三角求值是高中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现。此种题型属于三角变换型，一般对对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、将次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等。对此，我们要掌握变换的通法，活用2公式，攻克三角恒等变形的每一道难关。
111例2. 若x、y、z∈R且x＋y＋z＝1，求(－1)( －1)( －1)的最小值。
yxz?（注：本题适合高二年级以上学生）
思维启动点：由已知x＋y＋z＝1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x＋y＋z，或者运用均值不等式后含xyz的形式。所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化。
1111【解】(－1)( －1)( －1)＝（1－x）(1－y)(1－z)
yxyzxz＝
11(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝(xy＋yz＋zx－xyz)
xyzxyz3111313＝＋＋－1≥3－1＝－1≥－1＝9
3xyzx?y?zyzxxyz3反思提炼：对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题转化为求
111＋＋的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒等变形题型，yzx即代数式在形变中保持值不变。
例3. 设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围。
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化归及转化的思想方法佘维平
