【考纲解读】
考 点 考纲内容 理解取有限个值的离散型随机变量及其分离散型随机变量及其分布列 布列的概念，理解两点分布，理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能进行简单的应用. 2014?浙江理12； 2017?浙江8； 2018?浙江7. 2013?浙江理19; 5年统计 分析预测 1.考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质； 2.考查两点分布、n 次独立重复试验的模型及其应用. 3. 离散型随机变量的分布列及其概率分布是高考命题的热点，与离散型随机变量的数字特征结合命题是主要命题方式． 4.备考重点： (1) 掌握取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质； (2) 掌握两点分布、n 次独立重复试验的模型及其应用计算方法. 【知识清单】
1.离散型随机变量及其分布列
1．离散型随机变量的分布列 (1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示． (2)离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 若?是随机变量，??a??b，其中a,b是常数，则?也是随机变量. 2.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：
若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X 0 1 P 1?p p 其中0?p?1，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．其中p?P?X?1?称为成功概率．
(2)超几何分布：
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X?k}发生的概率为
kn?kCMCN?M，k?0,1,2,P?X?k??nCN,m，其中m?min?M,n?，且n?N,M?N,n,M,N?N?，称分
布列为超几何分布列.
X 0 1 1n?1CMCN?M nCN… m mn?mCMCN?M nCN+ + ]P 学0n?0CMCN?M nCN… (3)设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，xi，…xn，X取每一个值xi (i?1,2,为P?X?xi??pi，则称表
,n)的概率
X x1 P x2 … p2 … xi … pi … xn pn ,np1 为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式P?X?xi??pi，i?1,2,表示X的分布列． 分布列的两个性质 ①pi?0，i?1,2,,n；②p1?p2??pn?1.
【重点难点突破】
考点1 离散型随机变量及其分布列
【1-1】【2017-2018学年湖北省松滋市第一中学】若随机变量X的概率分布如下表所示，则表中的a的值为 ( ) X P A. 1 B. 【答案】D 【解析】
1 2 3 4 a 1 2111 C. D. 2361 61 61111???a?1?a?，选D. 2666k?2?【1-2】【2017-2018学年湖北省松滋市第一中学】设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m??,k＝1,2,3，
?3?则m的值为 ( ) A.
17271727 B. C. D. 18381919【答案】B 【解析】因为m?27?248?，选B. ????1，所以m?383927??【1-3】若随机变量X的分布列为
则D?X?? ． 【答案】
2 9212?m?1,?m?, 由两点分布的方差可得D?X??p?1?p?? 339【解析】由分布列的性质可得
【1-4】【浙江省绍兴市2018届高三3月模拟】若离散型随机变量的分布列为
则常数
，的数学期望
．
【答案】 【解析】由题得
. 故填（1）（2）.
【领悟技法】
1. 求分布列的三种方法
(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．
(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种． (3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
2. 求离散型随机变量分布列的步骤
(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)；
(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；
(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确． 3. 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路 (1)明确随机变量可能取哪些值．
(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值． (3)根据分布列和期望、方差公式求解．
注意 解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．
【触类旁通】
【变式一】已知随机变量ξ的分布列为 ξ P 0 0.16 1 0.22 2 0.24 3 4 0.10 5 0.06 6 0.01 则P(ξ＝3)＝ . 【答案】0.21
【解析】P(ξ＝3)＝1?0.16?0.22?0.24?0.1?0.06?0.01?0.21
【变式二】若随机变量X只取两个值x1与x2，并且X取x1的概率是它取x2的概率的3倍，则X的分布列是 ． 【答案】 X P x1 x2 3 41 4【解析】因为X取x1的概率是它取x2的概率的3倍，所以X取x1的概率是
31，取x2的概率是 44【易错试题常警惕】
易错典例：某种食品是经过A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C工序的产品合格率分别为
32、、434．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两道合格为二等5品；其它的为废品，不进入市场．
（Ⅰ）正式生产前先试生产2袋食品，求这２袋食品都为废品的概率；
（Ⅱ）设?为加工工序中产品合格的次数，求?的分布列和数学期望．
. ]易错分析：随机变量?的取值错误导致出错，计算概率出错．
3242P(??3)????．
4355? P 0 1 601 2 13 303 2 53 203132133?E??1??2??3??2030560．
温馨提醒： 1．对于分布列易忽视其性质p1?p2??pn?1及pi?0，i?1,2,,n其作用可用于检验所
求离散型随机变量的分布列是否正确．2．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．
【学 素养提升之思想方法篇】
对立统一，峰回路转——正难则反
正难则反原则是解题学中的一个重要的思维方法，就其意义来说，就是当从问题的正面去思考问题，遇到阻力难于下手时，可通过逆向思维，从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题.说得更具体一些，就是当我们拿到一个题目，经仔细地审题后，如感觉顺推有困难就要尝试去进行逆推，这就俗话所说的“不要一条路跑到黑”，许多事实都说明：对问题正向进行探索使问题陷入困境时，反向思维往往能使人茅塞顿开，获得意想不到效果.
2019届二轮复习 离散型随机变量及其分布列 学案 (全国通用)
