第十一章 曲线积分与曲面积分测试题
A
一、填空题
1. 设 L 为圆周 x2 ? y2 ? a2 ，则 (x2 ? y2 )ds ? 2? a3 ；
L
°?
2. 设? 为从点O(0, 0, 0) 到 A(1, 2, 3) 的直线段，则(x ? y ? z)ds ? 3 14 ；
?
?°?(x ? y)dx ? (x ? y)dy ? 2 ，其中 L 为以O(0, 0) 、 A(1,1) 、 B(2, 0) 为顶点的三角形区域的边
界，取正向；
1 22
设? 为旋转抛物面 z ?(x ? y ) 介于 z ? 0 .4与 z ? 2 之间的部分，则 ?? xdS ? 0 ；（对称性）
2 1
设? 为旋转抛物面 z ?(x2 ? y2 ) 介于 z ? 0 与 z ? 2 之间的部分，取下侧，则 ?? zdxdy ? ?4? ； .5 .3L
??
2
?
??
设? 为球心在原点，半径为 R 的球面的外侧，则 .6二、计算题 计算 .1界；
4? R3 . xdydz ? ydzdx ? zdxdy = o??
??
°?(x ? y)ds ，其中 L 为 y ? 0, y ? x, y ? L
1? x2 所围成的扇形区域（第一象限部分）的边
2 解：曲线 L 分为三部分， L1 : y ? 0, 0 ? x ? 1， L2 : y ? x, 0 ? x ? ，
2
?
L : x ? cos? , y ? sin? , 0 ? ? ? ， 3
4
°?L (x ? y)ds ? ?L (x ? y)ds ? ?L (x ? y)ds ? ?L (x ? y)ds
1
2
3
3 ? 2 ? ? xdx ? 2 2 ? xdx ? ? 4 (cos? ? sin? )d? ??0 0 0 2
22
计算? ( y sin x ? x)dx ?(xy ? cos x ? x )dy ，其中 L 为 y ? 1? x 从 A(1, 0) 到 B(?1, 0) 的一段弧； .2L?Q ?P 2
解：设 P ? y sin x ? x, Q ? xy ? cos x ? x ，则 ? ? y ? 2x ，由格林公式
?x ?y
1
2 2
??则
?
L
Pdx ? Qdy ? ?? ( y ? 2x)dxdy ? ?BA Pdx ? Qdy ? ??1 dx?0
D
1? x
2
1 1? x
2
ydy ? ??1 xdx （注意对称性的应用）
1
8
ydy ? ? ?dx
???1 015
(1,1)
证明曲线积分 (x2 ? y)dx ? (x ? 2 sin2 y)dy 与路径无关，并计算积分值； .31
??
(0,0)
?Q?P
? 1 ? ，所以曲线积分与路径无关 ?x ?y
(1,1) 1 1 1 1
选择折线路径， ? Pdx ? Qdy ? ?x2dx ? ?(1? 2 sin2 y)dy ? ? sin 2
(0,0) 0 0 3 2
22 计算 .4I ? ?? z3dS ，其中? 为上半球面 z ? 1? x ? y ；
证明：设 P ? x ? y, Q ? x ? 2 sin y ，则
2
2
??
3
解： z3dS ??
??
??
???
(1? x2 ? y2 )2 1
dxdy ??
1? x2 ? y2 ???
x2 ? y2 ?1
(1? x ? y )dxdy ??
22
??2
x2 ? y2 ?1
计算 I ? .522
xdydz ? ydzdx ? 2zdxdy ，其中? 为曲面 z ? 1? x ? y 在第一卦限的部分取上侧； ??
??
? (2x, 2 y,1) 解： ? 指定侧的单位法向为 n ??，所以
22 1? 4x ? 4 y 原式? .6???2x2 ? 2 y2 ? 2z ??dS ? 2??1dxdy ? ?222 D 1? 4x ? 4 y xy
?计算曲面积分
o?? xdydz ? ydzdx ? (z ?1)dxdy ，其中? 为 xOz 面上的抛物线 z ? x2 绕 z 轴旋转
??
一周所得的旋转曲面与平面 z ? 1所围成的封闭曲面，取外侧. 解：由高斯公式，原式? 3
3 1
dv ? 3dz dxdy ? ????? ? ?? 0
2 ? x ? y ? z
22
k
1. 已知 I ?
223
°?L
k
B 1 2
2222
x ydx ? 2x(1? y )dy ， k ? 1, 2, 3, 4 ，其中 L : x ? y ? 1 ， L : x2 ? y2 ? 2 ，
4
1
2
3
4
3
L : x ? 2 y ? 2 ， L : 2x2 ? y2 ? 2 ，均取逆时针方向，则 max{I , I , I , I } ? I ；（提示：运用
格林公式和二重积分的几何意义）
1
2 .设函数 f (x, y) 在单连通域 D 内具有连续偏导数，对于任意t ? 0 ，有 f (tx, ty) ? f (x, y) ，证
2
t
明：对于 D 内任意的简单封闭曲线 L ，有
°?yf (x, y)dx ? xf (x, y)dy ? 0 ；
L
证明：记 P ? yf (x, y) ， Q ? ?xf (x, y) ，则
?Q ?P
? ? ? f (x, y) ? xf (x, y) ? ( f (x, y) ? yf (x, y)) ? ?2 f (x, y) ? xf (x, y) ? yf (x, y)
x y x y
?x ?y
1 2
f (tx, ty) ? f (x, y) 两边对t 求导得 xf ?(tx, ty) ? yf ?(tx, ty) ? ? f (x, y) ，取t ? 1，则
1
?Q ?P 2 t 2 ?t3
?xf (x, y) ? yf (x, y) ? ?2 f (x, y) ，所以? ? 0 ，所以 yf (x, y)dx ? xf (x, y)dy ? 0 .
1
2
? 3 .计算曲面积分 I ?
????x ?y
2
axdydz ? (z ? a) dxdy
?°?L
x ? y ? z 2 2 2 ，其中? 是曲面 z ? ??a2 ? x2 ? y2 的上侧；
解： I ?
????
axdydz ? (z ? a)2 dxdy x2 ? y2 ? z2 2
(z ? a)2
dxdy ， ? ?? xdydz ??
a ??
补面?1 : z ? 0, x2 ? y2 ? a2 ，取下侧，由高斯公式得
(z ? a)2
I ? ???? (3 ? z)dv ? ?? xdydz ??a a ? ?1
1 2
xzdx ? xdy ? ydz ，其中 L 为 x2 ? y2 ? 1与 x ? y ? z 的交线从 z 轴正向向 z 4 .计算曲线积分? L2
2
2
2
5 3 3 3
dxdy ? ? ? a ? (?????adxdy) ? ? ? a
2 2 x ? y ?a
轴负向看去为逆时针方向.
解：取? ： x ? y ? z ， x2 ? y2 ? 1，取上侧，则单位法向 n ? ? (?1, ?1,1)
3
由斯托克斯公式得
?1 ?1 1
3 3 3
1 2????dS ? ?1 ( y ? x ?1)dS ??xzdx ? xdy ? ydz ? ?? ??(1? x ? y)dxdy ? ???L ?? ?? ?x ?y ?z 2 3 ??? x ? y ?1
2
2
xz
x
1
y2
2
注意最后计算运用对称性及重积分的几何意义
第十一章练习题答案
