复变函数复习重点
(一)复数的概念
1.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数,
x?Re?z?,y?Im?z?.i2??1.
注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1）模：z?x2?y2；
2）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg?z?（多值函数）；主值arg?z?是位于(??,?]中的幅角。 3）arg?z?与arctany之间的关系如下：
xy； xy??xy??x 当x?0,
argz?arctan?y?0,argz?arctan??当x?0,??y?0,argz?arctan??；
4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中??argz；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：z? (二) 复数的运算
1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2.乘除法：
1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则
z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；
zei?，其中??argz。
z1x1?iy1?x1?iy1??x2?iy2?x1x2?y1y2y1x2?y2x1。 ????i2222z2x2?iy2?x2?iy2??x2?iy2?x2?y2x2?y2122）若z1?z1ei?,z2?z2ei?, 则
-*
z1z2?z1z2e?1i???2?；z1z2?z1i??1??2? ez2
3.乘幂与方根
1） 若z?z(cos??isin?)?zei?，则zn?2） 若z?z(cos??isin?)?zei?，则
nz(cosn??isinn?)?zein?。
nn??2k???2k???z?z?cos?isin?nn??1n(k?0,1,2Ln?1)（有n个相异的值）
（三）复变函数
1．复变函数：w?f?z?，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2．复初等函数
1）指数函数：ez?ex?cosy?isiny?，在z平面处处可导，处处解析；且?ez???ez。
注：ez是以2?i为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3） 对数函数：
； Lnz?lnz?i(argz?2k?)(k?0,?1,?2L)（多值函数）
主值：lnz?lnz?iargz。（单值函数）
Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z
平面内处处
解析，且?lnz???1；
z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）
3）乘幂与幂函数：ab?ebLna(a?0)；zb?ebLnz(z?0)
注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且?zb???bzb?1。
eiz?e?izeiz?e?izsinzcosz,cosz?,tgz?,ctgz?4）三角函数：sinz?2i2coszsinz
sinz,cosz在z平面内解析，且?sinz???cosz,?cosz????sinz
-*
注：有界性sinz?1,cosz?1不再成立；（与实函数不同） 4） 双曲函数
shzez?e?zez?e?zshz?,chz?22； 在
z
奇函数，
chz是偶函数。
shz,chz平面内解析，且
?shz???chz,?chz???shz。
（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数
f?z0??z??f?z0?lim1）点可导：f??z0?=?； z?0?z2）区域可导： f?z?在区域内点点可导。 2．解析函数的概念
1）点解析： f?z?在z0及其z0的邻域内可导，称f?z?在z0点解析； 2）区域解析： f?z?在区域内每一点解析，称f?z?在区域内解析； 3）若f(z)在z0点不解析，称z0为f?z?的奇点；
3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件
1．函数可导的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在z?x?iy可导
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?可微，且在?x,y? 处满足C?D条件：
?u?v?? ?y?x?u?v?,?x?y 此时， 有f??z???u?i?v。
?x?x2．函数解析的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在区域内解析
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?在
D
内可微，且满足
C?D条件：
-*
?u?v?,?x?y?u?v??； ?y?x此时f??z???u?i?v。
?x?x注意： 若u?x,y?,v?x,y?在区域D具有一阶连续偏导数，则u?x,y?,v?x,y?在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C?R条件时，函数f(z)?u?iv一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法
1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1） 2）利用充要条件 （函数以f?z??u?x,y??iv?x,y?形式给出，如第二章习题2）
3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f?z?是以z的形式给出，如第二章习题3）
（六）复变函数积分的概念与性质
f??k??zk，c是光滑曲线。1． 复变函数积分的概念：?cf?z?dz?lim ?n??k?1n注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2． 复变函数积分的性质 1） 2）
?f?z?dz???ccc?1f?z?dz （c?1与c的方向相反）；
cc?[?f?z???g?z?]dz???f?z?dz???g?z?dz,?,?是常数；
123） 若曲线c由c1与c2连接而成，则?cf?z?dz??cf?z?dz??cf?z?dz。 3．复变函数积分的一般计算法
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1）化为线积分：?cf?z?dz??cudx?vdy?i?cvdx?udy；（常用于理论证明） 2）参数方法：设曲线c：
z?z?t?(??t??)，其中??对应曲线c的起
点，?对应曲线c的终点，则 ?cf?z?dz???f[z?t?]z?(t)dt。
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西—古萨基本定理：设f?z?在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则
??f?z?dz?0
c2．复合闭路定理： 设f?z?在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c1,c2,L相交，并且以c1,c2,Lncn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不cn为边界的区域全含于D内，则
① ?f?z?dz, 其中c与ck均取正向； ?f?z?dz????k?1cck?1② ??f?z?dz?0，其中?由c及c(k?1,2,Ln)所组成的复合闭路。
?3．闭路变形原理 ： 一个在区域D内的解析函数f?z?沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使f?z?不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设f?z?在单连域B内解析，G?z?为f?z?在B内的一个原函数，则?z时只要求出原函数即可。
5。 柯西积分公式：设f?z?在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于
f?z???cz?z0dz?2?if?z0?
z21f?z?dz?G?z2??G?z1?(z1,z2?B)
说明：解析函数f?z?沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算
D
，z0为c内任意一点，则
复变函数与积分变换重要学习知识重点归纳
