2024高考数学压轴题命题区间探究与突破专题
第一篇 函数与导数
专题02 “三招五法”，轻松破解含参零点问题
一．方法综述
函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数的性质，特别是函数单调性（可借助于导数）探寻解题思路，或利用数形结合思想、分离参数方法来求解．具体的，（1）分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值；（2）利用零点存在的判定定理构建不等式形结合、转化与化归等思想方法，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度，往往出现在压轴题的位置.正因为如此，根据函数的零点情况，讨论参数的范围成为高考的难点．对于此类题目，我们常利用零点存在定理、函数求解；（3）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 二．解题策略
类型一 “第一招”带参讨论
【例1】【2024·福建福州期末】已知函数f?x??x?4x?ae2?x?2?e?x?2?有唯一零点，则a?（ ）
D．2
A．?1 2B．-2 C．
1 2【答案】B
【解析】因为函数f?x??x?4x?ae2?x?2?e?x?2?有唯一零点，
等价于方程x?4x?ae2?x?2?e?x?2?有唯一解，
2等价于函数y?x?4x的图像与y?ae2?x?2?e?x?2?的图像只有一个交点.
当a?0时，y?x2?4x??x?2??4??4，此时有两个零点，矛盾；
当a?0时，由于y?x2?4x??x?2??4在???,2?单调递减，在?2,???单调递增，
2且y?ae?x?2?e?x?2?在???,2?单调递减，在?2,???单调递增，
2所以函数y?x?4x的图像最低点为?2,?4?，
y?a?ex?2?e?x?2?的图像的最低点为?2,2a?，由于2a?0??4，
故两函数图像有两个交点，矛盾，
当a?0时，由于y?x2?4x??x?2??4在???,2?单调递减，在?2,???单调递增，
2且y?ae?x?2?e?x?2?在???,2?单调递增，在?2,???单调递减，
2所以函数y?x?4x的图像最低点为?2,?4?，
y?a?ex?2?e?x?2?的图像的最高点为?2,2a?，
若两函数只有一个交点，则2a??4，即a??2.故选B 【指点迷津】
1.根据题设要求研究函数的性质， 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2.由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类讨论，并逐一求解．
【举一反三】【2024河北邯郸期末】已知函数f(x)?mex?x?2m有两个零点，则m的取值范围是( ) A．(0,??) 【答案】A
【解析】由题知，f?(x)?mex?1，
当m0时，f?(x)?0，所以f(x)在R上单调递减，函数f(x)不可能有两个零点，故m0不成立；
x当m?0时，令f?(x)?0，?e?B．(??,0) C．(0,1)
1D．(0,)
e11，?x?ln
mm?函数f(x)在(??,ln11)上单调递减，在(ln,??)上单调递增， mm111)?m?ln?2m?1?ln(m)?2m mmm1?2m?1?2? mm?函数f(x)的最小值min?f(ln令g(m)?1?ln(m)?2m，其中m?0，?g?(m)?1111?g(m)在(0,)上单调递增，在(,??)上单调递增，?g(m)max?g()?ln?0
2222?g(m)?0，?f(x)的最小值f(ln1)?0 m且x趋向于??时，f(x)趋向于??；当x趋向于??时，f(x)趋向于??
?此时f(x)有两个零点，符合题意，?m?(0,??)
故选A．
类型二 “第二招”数形结合
【例2】【2024?河南一模】已知关于x的方程[f(x)]2?kf(x)?1?0恰有四个不同的实数根，则当函数
f(x)?x2ex时，实数k的取值范围是( ) A．(??，?2)?(2，??) 8C．(2,2)
e4e2B．(2?,??)
e44e2D．(2,2?)
e4
【答案】B
【解析】函数f?(x)?2xex?x2ex?(x?2)xex，
由f?(x)?0得(x?2)x?0，得x?0或x??2，此时f(x)为增函数， 由f?(x)?0得(x?2)x?0，得?2?x?0，此时f(x)为减函数， 即当x?0时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(0)?0， 当x??2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(?2)?当x?0，f(x)?0，且f(x)?0， 作出函数f(x)的图象如图： 设t?f(x)，则当0?t?当t?0或t?
44t?f(x)t?f(x)有2个根， t? 3 时方程有个根，当2时方程2ee4， e24
时 方程t?f(x)有1个根， e2
则方程[f(x)]2?kf(x)?1?0等价为t2?kt?1?0， 若[f(x)]2?kf(x)?1?0恰有四个不同的实数根， 等价为t2?kt?1?0有两个不同的根， 当t?0，方程不成立，即t?0， 其中0?t1?44t?或， 2e2e2设h(x)?t2?kt?1，
??h(0)?1?0?k?0????kk??0，得?42则满足??， 422()?k()?1?0??22ee??4h()?0??e2
2024高考数学压轴题命题区间探究与突破专题2、三招五法破解含参零点问题
