基础篇
本篇包含五个线性代数的基础实验，从矩阵运算到方程组的求解；从向量组线性相关性分析到矩阵的对角化；从矩阵特征值和特征向量求解到二次型的标准化及正定性的分析，都给出了MATLAB的解决方法。实验5利用MATLAB的绘图功能，对线性代数若干概念的几何意义进行了分析讨论。
实验1 矩阵的基本运算
1.1 实验目的
1. 2. 3. 4. 5.
掌握Matlab软件的矩阵赋值方法；
掌握Matlab软件的矩阵加法、数乘、转置和乘法运算； 掌握Matlab软件的矩阵幂运算及逆运算； 掌握Matlab软件的矩阵元素群运算；
通过Matlab软件进一步理解和认识矩阵的运算规则。
1.2 实验指导
MATLAB是一种功能强大的科学及工程计算软件，它的名字由“矩阵实验室”（Matrix Laboratoy）组成，它具有以矩阵为基础的数学计算和分析功能，并且具有丰富的可视化图形表现功能及方便的程序设计能力。它的应用领域极为广泛。本实验学习用MATLAB软件进行矩阵基本运算。
启动MATLAB后，将显示MATLAB操作界面，它包含多个窗口，其中命令窗口是最常用的窗口，如图1.1所示。
图1.1 MATLAB的操作桌面
本实验所有例题的MATLAB命令都是在命令窗口中键入的。在本实验中用到MATLAB
1
的运算符号及命令或函数列举如下： 1、运算符号
表1.1给出了本实验用到的MATLAB基本运算符号。
表1.1 MATLAB的基本运算符号
运算符号 ＝ 说明 ＋ － * \\ / ^ ‘ . 赋值 加 减 乘 左除 右除 幂运算 转置 群运算 2、命令或函数
表1.2给出了与本实验相关的MATLAB命令或函数。若要进一步了解和学习某个命令或函数的详细功能和用法时，MATLAB提供了一个help命令。
表1.2 与本实验相关的MATLAB命令或函数
命令 help inv [ ] ， ； % eye(n) 说明 在命令窗口中显示函数inv的帮助信息 创建矩阵 矩阵行元素分割符号 矩阵列元素分割符号 注释行 创建n阶单位矩阵 位置 例1.1 例1.1 例1.1 例1.1 例1.1 例1.1 例1.1 例1.1 zeros(m,n) 创建m×n阶零矩阵 zeros(n) ones(m,n) rand(m,n) round(A) inv(A) A^-1 创建n阶零方阵 创建m×n阶元素全为1的矩阵 创建m×n阶元素为从0到1的均匀分布的随机数矩阵 例1.2 对矩阵A中所有元素进行四舍五入运算 求矩阵A的逆 用幂运算求矩阵A的逆 例1.2 例1.3 例1.3
1.3 实验内容
例1.1 用MATLAB软件生成以下矩阵：
?1?932??100??1?00?????（1）A?656（2）B?010（3）C??（4）D????????1?00?????660001??????1111?111?? 111??111?解：（1）在MATLAB命令窗口输入：
A=[9,3,2;6,5,6;6,6,0] % 矩阵同行元素以逗号或空格分割 或：A=[9 3 2;6 5 6;6 6 0] % 行与行之间必须用分号或回车分隔 或：A=[9 3 2 6 5 6 6 6 0] 结果都为： A =
9 3 2 6 5 6 6 6 0
2
（2）输入： B=eye(3) 结果为： B =
1 0 0 0 1 0 0 0 1 （3）输入：
C = zeros(2) 结果为： C =
0 0 0 0 （4）输入： D = ones(4)
结果为： D =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Matlab对矩阵赋值有直接输入和命令生成两种方法，本例中矩阵A就是键盘直接输入的；而矩阵B、C和D都是用Matlab命令而生成。
例1.2 随机生成两个3阶方阵A和B，分别计算： （1）A＋B；（2）A－B；（3）5A；（4）AB；（5）A
解：输入：
A=round(rand(3)*10) % rand(3)：生成3阶元素为0－1的随机实数方阵 % round（）：对矩阵元素进行四舍五入运算 B=round(rand(3)*10) 结果为： A =
10 2 3 5 10 9 9 3 7 B =
1 2 3 0 3 5 9 7 1 （1）输入： A＋B 结果为： ans =
T 3
11 4 6 5 13 14
18 10 8
其中“ans”表示这次运算的结果。 （2）输入： A－B 结果为： ans =
9 0 0 5 7 4 0 -4 6 （3）输入： 5*A
结果为： ans =
50 10 15 25 50 45 45 15 35 （4）输入： A*B
结果为： ans =
37 47 43 86 103 74 72 76 49 （5）输入 A’
结果为 ans =
10 5 9 2 10 3 3 9 7
?123???5?1例1.3 已知矩阵A?010，分别计算：（1）A；（2）A
????217??解：输入：
A=[1,2,3;0,1,0;2,1,7] 结果为： A =
1 2 3 0 1 0 2 1 7 （1）输入：
4
A^5
结果为： ans =
3409 2698 11715 0 1 0 7810 6177 26839 （2）输入： inv(A)
或输入A^-1 结果都为： ans =
7 -11 -3 0 1 0
-2 3 1
?695??662?????例1.4已知矩阵A?052，B?104，且满足PA?B，AQ?B，计算矩阵???????291???281??P和Q。
解：方法一：利用求逆矩阵的方法，输入：
A=[6,9,5;0,5,2;2,9,1] B=[6,6,2;1,0,4;2,8,1] P=B*inv(A) Q=inv(A)*B
方法二：利用MATLAB软件特有的矩阵“左除”和“右除”运算，输入： A=[6,9,5;0,5,2;2,9,1] B=[6,6,2;1,0,4;2,8,1]
P=B/A % 矩阵右除 Q=A\\B % 矩阵左除 两种方法的运算结果都为： A =
6 9 5 0 5 2 2 9 1 B =
6 6 2 1 0 4 2 8 1 P =
0.8043 -1.3043 0.5870 0.5761 1.1739 -1.2283 0.0435 -0.0435 0.8696 Q =
5
实验1矩阵的基本运算
