?3??D?0，?.
?2??直线BD的解析式为y??x?123， 2??123?2??t??，H?t，0?. 设Pt,?t2?2t?3?0?t?3?，则M?t,?t?3?，N?t，3?1313?1MN??t?3???x????t?，?PM??t2?2t?3?(?t?3)??t2?3t， NH??t?，
2?2222?2?MN?NH.
PM?MN，
13??t2?3t??t?.
221解得：t1?，t2?3（舍去）.
2?115??P?，?.
?24??115??P的坐标为?,?，使得PM?MN?NH.
?24?（3）过点P作PF?x轴于F，交直线BD于E.
??3，?BOD?90?， 235. ?BD?0B2?0D2?2OB325?cos?OBD???.
BD3552OB?3，OD?PQ?BD于点Q，PF?x轴于点F， ??PQE??BQR??PFR?90?. ??PRF??OBD??PRF??EPQ?90?. ??EPQ??OBD，即cos?EPQ?cos?OBD?在Rt△PQE中，cos?EPQ?25. 5PQ25， ?PE5?PQ?25PE. 5PF25， ?PR5在Rt△PFR中，cos?RPF??PR?PF255?5PF 2S△PQB?2S△QRB，SPQB11?BQPQ，S△QRB?BQQR 22?PQ?2QR
设直线BD与抛物线交于点G，
131，x2?? ?x???x2?2x?3，解得：x1?3（即点B横坐标）
2221∴点G横坐标为?
213??设P?t,?t2?2t?3?(t?3)，则E?t,?t??
22??3?53?1?PF??t2?2t?3，PE??t2?2t?3???t????t2?t?
2?22?21①若?＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，
253?PF??t2?2t?3，PE??t2?t?
22PQ?2QR
2?PQ?PR
32525?PE?PF，即6PE?5PF
53253???6??t2?t???5??t2?2t?3?
22??解得：t1?2，t2?3（舍去）
?P(2,3)
②若?1＜x＜?1，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3， 2此时，PQ?QR，即S△PQB?2S△QRB不成立. ③若t??1，则点P在x轴下方，如图4，
1353?PF????t2?2t?3??t2?2t?3，PE??t????t2?2t?3??t2?t?
2222PQ?2QR ?PQ?2PR
255PE?2PF，即2PE?5PF 5253???2?t2?t???5t2?2t?3
22??4解得：t1??，t2?3（舍去）
3?413??P??,??
?39??413?3?或??,??. 综上所述，点P坐标为?2，?39????
【解析】（1）把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值. 二次函数y??x2?bx?3的图象与x轴交于点A(?1,0)
??1?b?3?0
解得：b?2. 故答案为：2.
（2）求点B、C、D坐标，求直线BC、BD解析式.设点P横坐标为t，则能用t表示点P、M、
N、H的坐标，进而用含t的式子表示PM、MN、NH的长.以PM?MN为等量关系列得关于t的方程，求得t的值合理（满足P在第一象限），故存在满足条件的点P，且求得点P坐标.
（3）过点P作PF?x轴于F，交直线BD于E，根据同角的余角相等易证?EPQ??OBD，
所以cos?EPQ?cos?OBD?25PQ25，即在Rt△PQE中，cos?EPQ?；在Rt△PQE?5PE5
中，cos?RPF?PF25255，进而得PQ??PE，PR?PF.设点P横坐标为t，
PR552可用t表示PE、PF，即得到用t表示PQ、PR.又由S△PQB?2S△QRB易得PQ?2QR.要对点P位置进行分类讨论得到PQ与PR的关系，即列得关于t的方程.求得t的值要注意是否符合各种情况下t的取值范围.
【考点】二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，函数图像的交点问题，用坐标表
示线段的长度，二次函数图像上点的坐标特征以及一元二次方程的解法 28.【答案】解：（1）①2 ②10；
理由：①根据宽距的定义，可知在半径为1的半圆中，宽距为半圆的直径即宽距为2； ②如图，作AB的垂直平分线交半圆于点E，交AB于点F，连接AE，则AE的长为该图形的
宽距，由题意知AF?1，EF?3，?宽距AE?32?12?10；
（2）①如图，阴影部分就是点C所在的区域：
A??1，0?，B?1，0?，
?AB?2，
S的宽距d?2,
?点C所在的区域是以AB为直径的圆的圆面，点C所在的区域的面积?π；
2?，②当M在y轴右侧时，如图，连接AM1，过点M1作x轴的垂线，垂足为C，设点M1?x，则M1C?2，AC?x?1，?AM12?(x?1)2?22?(x?1)2?4，
5≤d≤8，?4≤AM1≤7，
?16≤(x?1)2?4≤49，解得23?1≤x≤35?1；
当
M在y轴的左侧时，如图，连接BM?，过点M?作x轴的垂线，垂足为D，
设点M2?x,2?，则M2D?2，BD?1?x，
2?BM2?(x?1)2?22?(x?1)2?4，
5≤d≤8，
?4≤BM2≤7，
?16≤(x?1)2?4≤49，解得?35?1≤x≤?23?1；
所以圆心M的横坐标的取值范围是：23?1≤x≤35?1或?35?1≤x≤?23?1.
【解析】（1）①根据在半圆中最长的弦为直径，即可求解；
②如图，根据新定义，作出半圆的最高点E，连接AE，然后利用勾股定理求出AE的长即可； （2）①点C所在的区域就是以AB为直径的圆的圆面，然后根据圆的面积公式求解； ②分两种情况：M在y轴右侧和M在y轴左侧，然后根据5≤d≤8列出不等式，求出解
集即可.
【考点】勾股定理，尺规作图，求不等式的解集，数形结合思想以及分类讨论思想
2019年常州市中考数学试题、答案(解析版)
