2024年常州市中考数学试题、答案（解析版）
(满分：120分 考试时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正
确的) 1.?3的相反数是
( )
A.1 13 B.?3
C.3
D.?3 2.若代数式
x?1x?3有意义,则实数x的取值范围是
( )
A.x??1 B.x?3 C.x??1
D.x?3
3.下图是某几何体的三视图,该几何体是
( )
A.圆柱 B.正方体
C.圆锥
D.球
(第3题) (第4题) 4.如图,在线段PA、PB、PC、PD中,长度最小的是 ( ) A.线段PA B.线段PB C.线段PC D.线段PD
5.若△ABC∽△A?B?C?,相似比为1:2,则△ABC∽△A?B?C?的周长的比为 ( ) A.2:1 B.1:2 C.4:1 D.1:4 6.下列各数中与2?3的积是有理数的是
( )
A.2?3
B.2
C.3
D.2?3
7.判断命题“如果n＜1,那么n2?1＜0”是假命题,只需举出一个反例.反例中的n可以为 ( )
A.?2
B.?12
C.0 D.12
8.随着时代的进步,人们对PM2.5(空气中直径小于等于2.5微
的颗粒)的关注日益密切.某市一天中PM2.5的值y1?ug/m3?时间t(h)的变化如图所示,设y2表示0时到t时PM2.5的值的差(即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差),则y2与t的数关系大致是
( )
A
B
米随极函
C
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 9.计算：a3?a? . 10.4的算术平方根是 . 11.分解因式：ax2?4a? .
12.如果???35?,那么??的余角等于 ?.
13.如果a?b?2?0,那么代数式1?2a?2b的值是 . 14.平面直角坐标系中,点P??3,4?到原点的距离是 . D
?x?115.若?是关于x、y的二元一次方程ax?y?3的解,则a? .
y?2?16.如图,AB是O的直径,C、D是O上的两点,?AOC＝120?,则?CDB＝ .
(第16题)
(第17题)
(第18题)
17.如图,半径为3的O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,连接OC,
则tan?OCB? . 18.如图,在矩形ABCD中,AD?3AB?310,点P是AD的中点,点E在BC上,CE?2BE,点M、N在线段BD上.若△PMN是等腰三角形且底角与?DEC相等,则MN? . 三、解答题(本大题共10小题,共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本题满分8分)计算：
?1?1?(1)?????(3)2；
?2?(2)(x?1)(x?1)?x(x?1).
0
?x?1?020.(本题满分6分)解不等式组?并把解集在数轴上表示出来.
3x?8??x?
21.(本题满分8分)如图,把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,点C落在点C?处,BC?与AD相交于点E.
(1)连接AC?,则AC?与BD的位置关系是 ； (2)EB与ED相等吗？证明你的结论.
22.(本题满分8分)在“慈善一日捐”活动中,为了解某校学生的捐款情况,抽样调查了该校部分学生的捐款数(单位：元),并绘制成下面的统计图.
(1)本次调查的样本容量是 ,这组数据的众数为 元； (2)求这组数据的平均数；
(3)该校共有600名学生参与捐款,请你估计该校学生的捐款总数.
23.(本题满分8分)将图中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.
(1)搅匀后从中摸出1个盒子,盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回),再从余下的2个盒子中摸出1个盒子,把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起,求拼成的图形是轴对称图形的概率.(不重叠无缝隙拼接)
24.(本题满分8分)甲、乙两人每小时共做30个零件,甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件？
25.(本题满分8分)如图,在□OABC中,OA?22,?AOC?45?,点C在y轴上,点D是BC的中点,反比例函数y?(1)求k的值； (2)求点D的坐标.
k(x＞0)的图像经过点A、D. x
26.(本题满分10分)【阅读】 数学中,常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,．．．．从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理,是一种重要的数学思想.
________________ _____________
图1
图2
【理解】
(1)如图1,两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼
成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积,并写出你发现的结论；
(2)如图2,n行n列的棋子排成一个正方形,用两种不同的方法计算棋子的个数,可得等式：
n2? ； 【运用】
(3)n边形有n个顶点,在它的内部再画m个点,以?m?n?个点为顶点,把n边形剪成若干个
三角形,设最多可以剪得y个这样的三角形.当n?3,m?3时,如图3,最多可以剪得7个这样的三角形,所以y?7.
①当n?4,m?2时,如图4,y? ；当n?5,m? 时,y?9；
图3
图4
②对于一般的情形,在n边形内画m个点,通过归纳猜想,可得y? (用含m、n的代数式表示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立. ．．．．
27.(本小题满分10分)
如图,二次函数y??x2?bx?3的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为
??1,0?,点D为OC的中点,点P在抛物线上.
(1)b? ；
(2)若点P在第一象限,过点P作PH?x轴,垂足为H,PH与BC、BD分别交于点M、N.是否存在这样的点P,使得PM?MN?NH？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；
(3)若点P的横坐标小于3,过点P作PQ?BD,垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且
S△PQB?2S△QRB,求点P的坐标.
28.(本题满分10分)已知平面图形S,点P、Q是S上任意两点,我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”.例如,正方形的宽距等于它的对角线的长度. (1)写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆： ；
②如图1,上方是半径为1的半圆,下方是正方形的三条边的“窗户形”： ；
0?、B?1，0?,C是坐标平面内的点,连接AB、(2)如图2,在平面直角坐标系中,已知点A??1，BC、CA所形成的图形为S,记S的宽距为d.
①若d?2,用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示)；
2?且与y轴垂直的直线上.对于②若点C在上运动,M的半径为1,圆心M在过点?0，M上任意点C,都有5≤d≤8,直接写出圆心M的横坐标x的取值范围.
图1
图2
2024年常州市中考数学试题、答案(解析版)
