考点强化练16 等腰、等边与直角三角形
夯实基础
1.
(2018·四川凉山)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A、B为圆心,大于2AB长为半径作弧,两弧相交于M、N两点;②作直线MN交BC于点D,连接AD.若AD=AC,∠B=25°,则∠C=( )
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A.70° 答案C 解析由作图可知MN为线段AB的垂直平分线,
B.60°
C.50°
D.40°
∴AD=BD,∠DAB=∠B=25°,∵∠CDA为△ABD的一个外角,∴∠CDA=∠DAB+∠B=50°. ∵AD=AC,∴∠C=∠CDA=50°.故选C.
2.
(2017·浙江温州)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边,AM=2√2EF,则正方形ABCD的面积为( ) A.12S 答案C 解析由题意可知EF=EH=HG=GF=√??,4个白色的矩形全等,且矩形的长均为√2??,宽为(√2???√??),则直角三角形的短直角边长为√??.
由勾股定理得AB=√????2+????2=√??+8??=3√??,所以正方形ABCD的面积为9S. 3.
B.10S
C.9S
D.8S
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(2018·山东淄博)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为( ) A.4 答案B 解析∵MN∥BC,∴∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB,∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠MCN=2∠ACB,∴∠NMC=∠
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B.6 C.4√3 D.8
NCM,∴MN=NC.
∵MN平分∠AMC, ∴∠AMN=∠NMC=2∠AMC, ∴∠AMN=2∠ACB=2∠ANM, ∵∠A=90°,
∴∠AMN=30°.∵AN=1,∴MN=2, ∴NC=2,∴AC=3,∵∠B=∠AMN=30°, ∴BC=2AC=6.故选B.
4.(2018·江苏扬州)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是( )
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A.BC=EC C.BC=BE 答案C 解析∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
B.EC=BE D.AE=EC
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠A=90°, ∴∠BCD=∠A.
∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE. ∵∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE=∠BCD+∠DCE, ∴∠BEC=∠BCE, ∴BC=BE.故选C.
5.(2018·贵州遵义)如图,△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点,若∠CAE=16°,则∠
B为 度.
答案37 解析∵AD=AC,E为CD的中点,
2
∴∠DAC=2∠CAE=32°, ∴∠ADC=2(180°-∠DAC)=74°. ∵BD=AD,∴∠B=2∠ADC=37°.
6.
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1
(2017·江苏扬州)如图,把等边三角形ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DP⊥
BC,若BP=4 cm,则EC= cm.
答案2+2√3 解析根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP=4√3.
根据折叠的性质可以得到∠DPE=∠A=60°,DP=DA=4√3,易得∠EPC=30°,∠PEC=90°,所以
EC=2PC=2(8+4√3-4)=2+2√3.
7.
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(2018·天津)如图,在边长为4的等边△ABC中,D、E分别为AB、BC的中点,EF⊥AC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为 . 答案√19 2解析连接DE,
∵在边长为4的等边△ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线, ∴DE=2,且DE∥AC,BD=BE=EC=2, ∵EF⊥AC于点F,∠C=60°, ∴∠FEC=30°,∠DEF=∠EFC=90°,
3
∴FC=2EC=1,故EF=√22-12=√3, ∵G为EF的中点,∴EG=2, ∴DG=√????2+????2=
√19. 2√31
8.(2017·内蒙古呼和浩特)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE;
(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由. (1)证明∵AB,AC为等腰三角形的两腰,
∴AB=AC.
∵BD,CE分别是两腰上的中线, ∴AE=AD.
在△AEC与△ADB中,
∵AE=AD,∠A=∠A,AC=AB, ∴△AEC≌△ADB, ∴BD=CE.
(2)解四边形DEMN为正方形.
9.(2018·浙江绍兴)数学课上,张老师举了下面的例题: 例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)
例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°) 张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题: 变式:等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数. (1)请你解答以上的变式题.
(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围. 解(1)当∠A为顶角时,∠B=50°,
当∠A为底角时,若∠B为顶角,则∠B=20°, 若∠B为底角,则∠B=80°,
?导学号16734118?
∴∠B=50°或20°或80°.
(2)分两种情况:
①当90≤x<180时,∠A只能为顶角,
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∴∠B的度数只有一个. ②当0 若∠A为顶角,则∠B=( 180-??2 )°, 若∠A为底角,则∠B=x°或∠B=(180-2x)°, 当 180-??2 ≠180-2x且 180-??2 ≠x且180-2x≠x,即x≠60时,∠B有三个不同的度数. 综上①②,当0 提升能力 10.(2018·四川绵阳)如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上,若AE=√2,AD=√6,则两个三角形重叠部分的面积为( ) A.√2 C.√3-1 答案D 解析过A点作AF⊥CE于点F,设AB与CD的交点为M,过M点作MN⊥AC于点N. B.3-√2 D.3-√3 ∵△ECD为等腰直角三角形,∴∠E=45°. ∵AE=√2,AD=√6, ????∴AF=EF=1,CE=CD=√2=1+√3, ∴CF=√3, ∴AC=√????2+????2=2,∠ACF=30°, ∴∠ACD=60°.设MN=x, ∵△ABC为等腰直角三角形, ∴∠CAB=45°, ∴AN=MN=x,CN=√3= √3????√3x, 3 ∴AC=AN+CN=x+3x=2,解得x=3-√3, ∴S△ACM=2×AC×MN=3-√3.故选D. 1 5
(课标通用)安徽省2019年中考数学总复习 第一篇 知识 方法 固基 第四单元 图形初步与三角形 考点强化练16
