高中数学选修2-2知识点总结(精华版)
数学选修2-2知识点总结
一、导数
1．函数的平均变化率为
f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f? ??x2?x1?x?x?x注1：其中?x是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率是
f(x0??x)?f(x0)?y，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫?lim?x?0?x?x?0?xlim做y?f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x?x0，即
f'(x0)=limf(x0??x)?f(x0)?y. ?lim?x?0?x?x?0?x
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
5、常见的函数导数 函数 y?c y?xnn?N* y?ax?a?0,a?1? y?ex 导函数 y'?0 ??y'?nxn?1 y'?axlna y'?ex y?logax?a?0,a?1,x?0? y?lnx y?sinx y?cosx 1 xlna1y'? xy'?cosx y'??sinx y'?
6、常见的导数和定积分运算公式:若f?x?，g?x?均可导（可积），则有： 和差的导数运算 积的导数运算 ?f(x)?g(x)??f'(x)?g'(x) '?f(x)?g(x)??f'(x)g(x)?f(x)g'(x) 特别地：??Cf?x???'?Cf'?x? ?f(x)?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)(g(x)?0) ?g(x)??2???g(x)?''商的导数运算 复合函数的导数 微积分基本定理 ?1??g'(x)特别地：? ?'?2gxgx??????yx??yu??ux? ?f?x?dx? ab（其中F'?x??f?x?） 和差的积分运算 ?[f(x)?f(x)]dx??f(x)dx??f(x)dx kf(x)dx?k?f(x)dx(k为常数)?特别地： a12a1a2bbaabbb积分的区间可加性 ?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx(其中a?c?b)accb 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数f'(x)
②令f'(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数f'(x) (3)求方程f'(x)=0的根
(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求f(x)在?a,b?上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求f(x)在?a,b?上的极值；
⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤:分割?近似代替?求和?取极限 （“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 ?1dx?b?a
ab性质5 若f(x)?0,x??a,b?，则?f(x)dx?0
ab①推广：?baba[f1(x)?f2(x)?L?fm(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx?L??fm(x)
aaabbb ②推广:?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?L??f(x)dx
ac1ckc1c2b
11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．
12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。
二、推理与证明知识点
13.归纳推理的定义：
从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 ．．．．．．．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 ．．．．
14.归纳推理的思维过程大致如图： 实验、观察 15.归纳推理的特点:
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
概括、推广 猜测一般性结论
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