[优化方案]2020高中数学 第2章2.3.1知能优化训练 新人教版选修2-3

1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的期望是( )

A．0.2 B．0.8 C．1 D．0 解析：选B.因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为( ) A．0.6 B．1 C．3.5 D．2

解析：选C.抛掷骰子所得点数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 6 111111P 6666661111111

所以，E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5.

6666666

3．设ξ为离散型随机变量，则E(E(ξ)－ξ)＝( ) A．0 B．1 C．2 D．不确定

解析：选A.∵E(ξ)是常数，∴E(E(ξ)－ξ)＝E(ξ)－E(ξ)＝0. 4．随机变量X的分布列为 X 1 3 5 P 0.5 0.3 0.2 则E(X)＝________.

解析：由均值的定义有E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 答案：2.4

一、选择题

1．若X的分布列为 X P ，则E(X)＝( ) 4

A. 52C. 5

1B. 21D. 5

0 1 51 a 114

解析：选A.由题意知＋a＝1，E(X)＝0×＋a＝a＝.

555

2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)等于( )

38A. B. 51514C. D．1 15

解析：选A.ξ的分布列为 ξ 0 1 2 771 1515157713∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.

1515155

1?1?3．已知ξ～B?n，?，η～B(n，)，且E(ξ)＝15，则E(η)等于( ) 3?2?

A．5 B．10 C．15 D．20

1

解析：选B.E(ξ)＝n＝15，∴n＝30，

21?1?∴η～B?30，?，∴E(η)＝30×＝10. 3?3?

4．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是( )

A．0.70 B．6 C．4.2 D．0.42 解析：选C.得分X～B(6,0.7)， E(X)＝6×0.7＝4.2.

5．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，则m的值为( )

X 1 2 3 4 11P m n 41211A. B. 3411C. D. 68

91

解析：选A.由Y＝12X＋7，则E(Y)＝12E(X)＋7＝34，从而E(X)＝，∴E(X)＝1×＋2×m44

19111

＋3×n＋4×＝，又m＋n＋＋＝1，联立求解得m＝.

1241243

6．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若

2

试验3次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数ξ的期望

3

是( )

413A. B. 39513C. D. 37

解析：选B.试验次数ξ的可能取值为1,2,3，

2

P(ξ＝1)＝，

3

122

P(ξ＝2)＝×＝，

339

11?21?1

P(ξ＝3)＝××?＋?＝. 33?33?9

所以ξ的分布列为

ξ 1 2 3 P P 2 32 91 922113所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝. 3999

二、填空题

7．已知随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.3 x 0.1 则x＝________，P(1≤ξ<3)＝________，E(ξ)＝________. 解析：x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3， P(1≤ξ<3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2) ＝0.2＋0.3＝0.5，

E(ξ)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.1＝2.1. 答案：0.3 0.5 2.1

8．设离散型随机变量ξ可能的取值为1,2,3,4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又ξ的数学期望E(ξ)＝3，则a＋b＝________.

解析：∵E(ξ)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3， 即30a＋10b＝3，又a＋b＋2a＋b＋3a＋b＋4a＋b＝1， 即10a＋4b＝1，

1

解得：a＝，b＝0，

101

∴a＋b＝.

101

答案： 10

9．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．

解析：∵种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，

则ξ～B(1000,0.1)，∴E(ξ)＝1000×0.1＝100， 故需补种的期望为2E(ξ)＝200. 答案：200 三、解答题

10．某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设任一客户去领奖的概率为4%.问：寻呼台能否向每一位顾客都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少份礼品？

解：设来领奖的人数ξ＝k(k＝0,1,2，…，3000)，

kk3000－k所以P(ξ＝k)＝C3000·0.04·(1－0.04)， 可见ξ～B(3000，0.04)，

所以E(ξ)＝3000×0.04＝120(人)>100(人)． 所以不能向每一位顾客都发出领奖邀请，寻呼台至少应准备120份礼品，才能使每一位领奖人都得到礼品．

11．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元；命中4发不奖励，也不必付款；命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.

(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率； (2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值.

155

解：(1)设5发子弹命中ξ(ξ＝0,1,2,3,4,5)发，则由题意有P(ξ＝5)＝C50.5＝. 32

(2)ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 1510105 3232323232设游客在一次游戏中获得奖金为X元， 于是X的分布列为

X －2 0 40 2651P 323232P 1 32故该游客在一次游戏中获得奖金的均值：E(X)＝(－2)×0.375(元)．

2651

＋0×＋40×＝－323232

1

12．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投

2

1

球2次均未命中的概率为.

16

(1)求乙投球的命中率p；

(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

解：(1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.

122

由题意得[1－P(B)]＝(1－p)＝，

16

35

解得p＝或p＝(舍去)，

44

3

所以乙投球的命中率为. 4

(2)由题设和(1)知

1131P(A)＝，P(A)＝，P(B)＝，P(B)＝.

2244ξ可能的取值为0,1,2,3，故

1?1?1

P(ξ＝0)＝P(A)P(B B)＝×??2＝，

2?4?32

P(ξ＝1)＝P(A)P(B B)＋C12P(B)P(B)P(A)

1?1?23117＝×??＋2×××＝， 2?4?44232

1?3?9

P(ξ＝3)＝P(A)P(BB)＝×??2＝，

2?4?32

P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝.

故ξ的分布列为

1532

ξ P 132

0 1 32732

1 7 321532

2 15 32932

3 9 32ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.