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导 数 的 应 用
--------利用导数证明不等式
教学目标：1、进一步熟练并加深导数在函数中的应用并学会利用导数证明不等式 2、培养学生的分析问题、解决问题及知识的综合运用能力； 教学重点：利用导数证明不等式 教学难点：利用导数证明不等式 教学过程： 一、复习回顾
1、利用导数判断函数的单调性； 2、利用导数求函数的极值、最值； 二、新课引入
引言：导数是研究函数性质的一种重要工具．例如：求函数的单调区间、求函数的最大（小）值、求函数的值域等等．然而，不等式是历年高考重点考查的内容之一.尤其是在解答题中对其的考查，更是学生感到比较棘手的一个题.因而在解决一些不等式问题时，如能根据不等式的特点，恰当地构造函数，运用导数证明或判断该函数的单调性, 出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题．然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题，可使问题迎刃而解. 因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题． 下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用． 三、新知探究
1、利用导数得出函数单调性来证明不等式
x2例1：当x>0时,求证：x?＜ln(1+x) .
2x2x2'证明：设f(x)= x?－ln(1+x) (x>0), 则f(x)=?． 21?x∵x>0,∴f'(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递减，
x2所以x>0时,f(x) 2小结：把不等式变形后构造函数，然后用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的． 随堂练习：课本P32：B组第一题第3小题 2、利用导数解决不等式恒成立问题（掌握恒成立与最值的转化技巧；构造函数证明不等式） 1例２．已知函数f(x)?aex?x2 2(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围; (2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)>1+x 解：(1)f′(x)＝ aex－ｘ， ∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立， 学习好资料 欢迎下载 即ａ≥ｘｅ-ｘ对ｘ∈Ｒ恒成立 记ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e-x， 当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０． 知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+ ∞)上为减函数, ∴g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e, 即a的取值范围是[1/e, + ∞) 1(2)记F(X)=f(x) －(1+x) =ex?x2?1?x(x?0) 2则F′(x)=ex-1-x, 令h(x)= F′(x)=ex-1-x,则h′(x)=ex-1 当x>0时, h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上为增函数, 又h(x)在x=0处连续, ∴h(x)>h(0)=0 即F′(x)>0 ,∴F(x) 在(0,+ ∞)上为增函数,又F(x)在x=0处连续, ∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x． 小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m?f(x)(或m?f(x))恒成立，于是m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法． 例3．（2004年全国）已知函数f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx (1)求函数f(x)的最大值； a?b)?(b?a)ln2. 2分析：对于（II）绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下： (2)设0?a?b,证明 ：0?g(a)?g(b)?2g(证明：对g(x)?xlnx求导,则g'(x)?lnx?1. 在g(a)?g(b)?2g(a?b)中以b为主变元构造函数, 22设F(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x),则F'(x)?g'(x)?2[g(a?x)]'?lnx?lna?x. 22当0?x?a时，F'(x)?0,因此F(x)在(0,a)内为减函数. 当x?a时,F'(x)?0,因此F(x)在(a,??)上为增函数. 从而当x?a时, F(x) 有极小值F(a). 学习好资料 欢迎下载 因为F(a)?0,b?a,所以F(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(2a?b)?0. 2又设G(x)?F(x)?(x?a)ln2.则G'(x)?lnx?lna?x?ln2?lnx?ln(a?x). 当x?0时,G'(x)?0.因此G(x)在(0,??)上为减函数. 因为G(a)?0,b?a,所以G(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2. 2综上结论得证。 对于看起来无法下手的一个不等式证明，对其巧妙地构造函数后，运用导数研究了它的单调性后，通过利用函数的单调性比较函数值的大小,使得问题得以简单解决. 四、课堂小结 1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的； 2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到； 3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式； 总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现． 五、思维拓展 ax2x?e(x?0)； （2008联考）已知函数f(x)?e?x?1(x?0)，g(x)?2x（1） 求证：当a?1时对于任意正实数x, f(x) 的图象总不会在g(x)图象的上方； （2） 对于在（0，1）上任意的a值，问是否存在正实数x使得f(x)?g(x)成立？如果存在，求出符合条件的x的一个取值；否则说明理由。 （3）
导数的应用利用导数证明不等式
