解：BC?23，2r?23?4，r?2，R?5，S?20?； ?sin120E（3）已知?EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，
O1r1r1AROO2Rr2DEA?EB?3,AD?2,?AEB?60，则多面体E?ABCD的外接球
的表面积为 .16? 解：折叠型，
法一：?EAB的外接圆半径为r1?法二：O1M?B?M（3）题C3，OO1?1，R?1?3?2；
3133132，r2?O2D?，R???4，R?2，S表?16?； 2244法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱
222的轴截面的对角线长来求球的直径：(2R)?(23)?2?16，S表?16?；
（4）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?4,AC?6,A?球的表面积为 .
?3,AA1?4，则直三棱柱ABC?A1B1C1的外接
160? 31274727，r?， ?28，BC?27，2r??23332解：法一：BC?16?36?2?4?6?2R2?r2?(AA284016012，S表?)??4??；
2333法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.
第二讲 锥体背景的模型
类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）
PPPPOOOO1CBABO1CABO1CAABC图4-4
1．如图4-1，平面PAC?平面ABC，且AB?BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是?ABC的外心?三棱锥P?ABC的三条侧棱相等?三棱P?ABC的底面?ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点. 解题步骤：
图4-1图4-2图4-3第一步：确定球心O的位置，取?ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；
第二步：先算出小圆O1的半径AO1?r，再算出棱锥的高PO1?h（也是圆锥的高）；
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222第三步：勾股定理：OA?O1A?O1O?R?(h?R)?r，解出R；
222事实上，?ACP的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R.
2．如图4-2，平面PAC?平面ABC，且AB?BC（即AC为小圆的直径），且PA?AC，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)?PA?(2r)?2R?22②R?r?OO1?R?2222PA2?(2r)2；
r2?OO1
23．如图4-3，平面PAC?平面ABC，且AB?BC（即AC为小圆的直径） OC?O1C?O1O?R?r?O1O?AC?2R2?O1O2
4．题设：如图4-4，平面PAC?平面ABC，且AB?BC（即AC为小圆的直径）
第一步：易知球心O必是?PAC的外心，即?PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC?2r； 第二步：在?PAC中，可根据正弦定理
222222abc???2R，求出R. sinAsinBsinC例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为 . 解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理，
2R?7，S?4?R2?49?；
（2）正四棱锥S?ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为 解：方法一：找球心的位置，易知r?1，h?1，h?r，故球心在正方形的中心ABCD处，R?1，V?4? 3方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是?SAC的外接圆，此处特殊，Rt?SAC的斜边是球半径，
2R?2，R?1，V?4?. 3（3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正
三棱锥的体积是（ ） 33333 B． C． D． 43412解：高h?R?1，底面外接圆的半径为R?1，直径为2R?2，
A．
设底面边长为a，则2R?323313aa?3S?a?V?Sh?，，，三棱锥的体积为； ?23444sin60??（4）在三棱锥P?ABC中，PA?PB?PC?3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外
接球的体积为（ ） A．? B.
4?? C. 4? D.
333为半径的圆上，在圆锥中求解，R?1； 2解：选D，由线面角的知识，得?ABC的顶点A,B,C在以r?（5）已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的求面上,?ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直
径,且SC?2，则此棱锥的体积为（ ）A
7
A．
3222B． C．D．
66 3 2解：OO1?R2?r2?1?(26113262326??，h?，V球?Sh?? )?33436333类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）
1．题设：如图5，PA?平面ABC，求外接球半径.
POCAO1BD图5
解题步骤：
第一步：将?ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过
球心O； 第二步：O1为?ABC的外心，所以OO1?平面ABC，算出小圆O1的半径O1D?r（三角形的外接圆直
径算法：利用正弦定理，得
abc1，OO1?PA； ???2r）
sinAsinBsinC2222第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)?PA?(2r)?2R?22②R?r?OO1?R?2PA2?(2r)2；
r2?OO1.
22．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P的射影是?ABC的外心?三棱锥P?ABC的 三条侧棱相等?三棱锥P?ABC的底面?ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的 顶点.
PPPPOCAO1BOCAO1BOCABO1AOCO1BD图5-1
图5-2
图5-3
图5-4
8
PPPAO2BODCBAO2OCAO2BOD图5-6
图5-7
图5-8
解题步骤：
第一步：确定球心O的位置，取?ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；
第二步：先算出小圆O1的半径AO1?r，再算出棱锥的高PO1?h（也是圆锥的高）；
222第三步：勾股定理：OA?O1A?O1O?R?(h?R)?r，解出R
222方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C A．3? B．2? C．
P 2222 R22 2正视图侧视图O R M11O1
解答图俯视图
解：选C， 法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，
16? D．以上都不对 32N(3?R)2?1?R2,R?2162,S?4?R??；
33法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN的外接圆是大圆，于是2R?24?，下略；
sin60?3第三讲 二面角背景的模型
类型六、折叠模型
题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)
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A'OH2ABEDH1C图6
第一步：先画出如图6所示的图形，将?BCD画在小圆上，找出?BCD和?A?BD的外心H1和H2； 第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面A?BD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE,OC； 第三步：解?OEH1，算出OH1，在Rt?OCH1中，勾股定理：OH1?CH1?OC 注：易知O,H1,E,H2四点共面且四点共圆，证略.
例6（1）三棱锥P?ABC中，平面PAC?平面ABC，△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P?ABC外接球的半径为 . 解：如图，2r1?2r2?2222421?r?r?OH?，，， 122?sin60333P15145； R?O2H?r???，R?33332221O2AHBOO1C法二：O2H?11，O1H?，AH?1， 33（1）题155； R2?AO2?AH2?O1H2?O1O2?，R?33（2）在直角梯形ABCD中，AB//CD，?A?90，?C?45，AB?AD?1，沿对角线BD折成四面
体A??BCD，使平面A?BD?平面BCD，若四面体A??BCD的顶点在同一个球面上，则该项球的
表面积为 4?
S22r2ODO21O12AB(3)题r1R12C??A'ADD→MB(2)题-1CB(2)题-2OC
解：如图，易知球心在BC的中点处，S表?4?；
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关于球的历年高考真题空间几何体的外接球与内切球精品总结-- 教师版精品资料
