解:BC?23,2r?23?4,r?2,R?5,S?20?; ?sin120E(3)已知?EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,
O1r1r1AROO2Rr2DEA?EB?3,AD?2,?AEB?60,则多面体E?ABCD的外接球
的表面积为 .16? 解:折叠型,
法一:?EAB的外接圆半径为r1?法二:O1M?B?M(3)题C3,OO1?1,R?1?3?2;
3133132,r2?O2D?,R???4,R?2,S表?16?; 2244法三:补形为直三棱柱,可改变直三棱柱的放置方式为立式,算法可同上,略.换一种方式,通过算圆柱
222的轴截面的对角线长来求球的直径:(2R)?(23)?2?16,S表?16?;
(4)在直三棱柱ABC?A1B1C1中,AB?4,AC?6,A?球的表面积为 .
?3,AA1?4,则直三棱柱ABC?A1B1C1的外接
160? 31274727,r?, ?28,BC?27,2r??23332解:法一:BC?16?36?2?4?6?2R2?r2?(AA284016012,S表?)??4??;
2333法二:求圆柱的轴截面的对角线长得球直径,此略.
第二讲 锥体背景的模型
类型四、切瓜模型(两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法)
PPPPOOOO1CBABO1CABO1CAABC图4-4
1.如图4-1,平面PAC?平面ABC,且AB?BC(即AC为小圆的直径),且P的射影是?ABC的外心?三棱锥P?ABC的三条侧棱相等?三棱P?ABC的底面?ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点. 解题步骤:
图4-1图4-2图4-3第一步:确定球心O的位置,取?ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;
第二步:先算出小圆O1的半径AO1?r,再算出棱锥的高PO1?h(也是圆锥的高);
6
222第三步:勾股定理:OA?O1A?O1O?R?(h?R)?r,解出R;
222事实上,?ACP的外接圆就是大圆,直接用正弦定理也可求解出R.
2.如图4-2,平面PAC?平面ABC,且AB?BC(即AC为小圆的直径),且PA?AC,则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①(2R)?PA?(2r)?2R?22②R?r?OO1?R?2222PA2?(2r)2;
r2?OO1
23.如图4-3,平面PAC?平面ABC,且AB?BC(即AC为小圆的直径) OC?O1C?O1O?R?r?O1O?AC?2R2?O1O2
4.题设:如图4-4,平面PAC?平面ABC,且AB?BC(即AC为小圆的直径)
第一步:易知球心O必是?PAC的外心,即?PAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径AC?2r; 第二步:在?PAC中,可根据正弦定理
222222abc???2R,求出R. sinAsinBsinC例4 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为1,底面边长为23,则该球的表面积为 . 解:法一:由正弦定理(用大圆求外接球直径);法二:找球心联合勾股定理,
2R?7,S?4?R2?49?;
(2)正四棱锥S?ABCD的底面边长和各侧棱长都为2,各顶点都在同一球面上,则此球体积为 解:方法一:找球心的位置,易知r?1,h?1,h?r,故球心在正方形的中心ABCD处,R?1,V?4? 3方法二:大圆是轴截面所的外接圆,即大圆是?SAC的外接圆,此处特殊,Rt?SAC的斜边是球半径,
2R?2,R?1,V?4?. 3(3)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正
三棱锥的体积是( ) 33333 B. C. D. 43412解:高h?R?1,底面外接圆的半径为R?1,直径为2R?2,
A.
设底面边长为a,则2R?323313aa?3S?a?V?Sh?,,,三棱锥的体积为; ?23444sin60??(4)在三棱锥P?ABC中,PA?PB?PC?3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外
接球的体积为( ) A.? B.
4?? C. 4? D.
333为半径的圆上,在圆锥中求解,R?1; 2解:选D,由线面角的知识,得?ABC的顶点A,B,C在以r?(5)已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的求面上,?ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直
径,且SC?2,则此棱锥的体积为( )A
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A.
3222B. C.D.
66 3 2解:OO1?R2?r2?1?(26113262326??,h?,V球?Sh?? )?33436333类型五、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)
1.题设:如图5,PA?平面ABC,求外接球半径.
POCAO1BD图5
解题步骤:
第一步:将?ABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD,连接PD,则PD必过
球心O; 第二步:O1为?ABC的外心,所以OO1?平面ABC,算出小圆O1的半径O1D?r(三角形的外接圆直
径算法:利用正弦定理,得
abc1,OO1?PA; ???2r)
sinAsinBsinC2222第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①(2R)?PA?(2r)?2R?22②R?r?OO1?R?2PA2?(2r)2;
r2?OO1.
22.题设:如图5-1至5-8这七个图形,P的射影是?ABC的外心?三棱锥P?ABC的 三条侧棱相等?三棱锥P?ABC的底面?ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的 顶点.
PPPPOCAO1BOCAO1BOCABO1AOCO1BD图5-1
图5-2
图5-3
图5-4
8
PPPAO2BODCBAO2OCAO2BOD图5-6
图5-7
图5-8
解题步骤:
第一步:确定球心O的位置,取?ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;
第二步:先算出小圆O1的半径AO1?r,再算出棱锥的高PO1?h(也是圆锥的高);
222第三步:勾股定理:OA?O1A?O1O?R?(h?R)?r,解出R
222方法二:小圆直径参与构造大圆,用正弦定理求大圆直径得球的直径. 例5 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )C A.3? B.2? C.
P 2222 R22 2正视图侧视图O R M11O1
解答图俯视图
解:选C, 法一:(勾股定理)利用球心的位置求球半径,球心在圆锥的高线上,
16? D.以上都不对 32N(3?R)2?1?R2,R?2162,S?4?R??;
33法二:(大圆法求外接球直径)如图,球心在圆锥的高线上,故圆锥的轴截面三角形PMN的外接圆是大圆,于是2R?24?,下略;
sin60?3第三讲 二面角背景的模型
类型六、折叠模型
题设:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠(如图6)
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A'OH2ABEDH1C图6
第一步:先画出如图6所示的图形,将?BCD画在小圆上,找出?BCD和?A?BD的外心H1和H2; 第二步:过H1和H2分别作平面BCD和平面A?BD的垂线,两垂线的交点即为球心O,连接OE,OC; 第三步:解?OEH1,算出OH1,在Rt?OCH1中,勾股定理:OH1?CH1?OC 注:易知O,H1,E,H2四点共面且四点共圆,证略.
例6(1)三棱锥P?ABC中,平面PAC?平面ABC,△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形,则三棱锥P?ABC外接球的半径为 . 解:如图,2r1?2r2?2222421?r?r?OH?,,, 122?sin60333P15145; R?O2H?r???,R?33332221O2AHBOO1C法二:O2H?11,O1H?,AH?1, 33(1)题155; R2?AO2?AH2?O1H2?O1O2?,R?33(2)在直角梯形ABCD中,AB//CD,?A?90,?C?45,AB?AD?1,沿对角线BD折成四面
体A??BCD,使平面A?BD?平面BCD,若四面体A??BCD的顶点在同一个球面上,则该项球的
表面积为 4?
S22r2ODO21O12AB(3)题r1R12C??A'ADD→MB(2)题-1CB(2)题-2OC
解:如图,易知球心在BC的中点处,S表?4?;
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关于球的历年高考真题空间几何体的外接球与内切球精品总结-- 教师版精品资料
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